2010年江苏省南通市高三第三次调研数学试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

有一容量为10的样本：2，4，7，6，5，9，7，10，3，8，则数据落在[5.5，7.5）内的频率为    ．

2. 难度：中等

已知直线l，m，n，平面α，m⊂α，n⊂α，则“l⊥α”是“l⊥m，且l⊥n”的     条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）

3. 难度：中等

已知集合A={2，7，-4m+（m+2）i}（其中i为虚数单位，m∈R），B={8，3}，且A∩B≠∅，则m的值为    ．

4. 难度：中等

在区间[0，1]上任取两个数a，b，则关于x的方程x²+2ax+b²=0有实数根的概率为     ．

5. 难度：中等

若函数则=    ．

6. 难度：中等

在区间[-a，a]（a＞0）内不间断的偶函数f（x）满足f（0）•f（a）＜0，且f（x）在区间[0，a]上是单调函数，则函数y=f（x）在区间（-a，a）内零点的个数是    ．

7. 难度：中等

执行如图所示的程序框图后，输出的结果是    ．

8. 难度：中等

不等式的解集是     ．

9. 难度：中等

如图，点A、B在函数的图象上，则直线AB的方程为    ．

10. 难度：中等

双曲线上的点P到点（5，0）的距离是6，则点P的坐标是    ．

11. 难度：中等

已知数列{a_n}为等差数列，若，则数列{|a_n|}的最小项是第     项．

12. 难度：中等

在菱形ABCD中，若∠B=60°，AC=4，则=    ．

13. 难度：中等

已知点P在直线x+2y-1=0上，点Q在直线x+2y+3=0上，PQ中点为N（x，y），且y＞x+2，则的取值范围为    ．

14. 难度：中等

数列{a_n}满足：（n=2，3，4，…），若数列{a_n}有一个形如a_n=Asin（ωn+φ）+B的通项公式，其中A、B、ω、φ均为实数，且A＞0，ω＞0，|φ|＜，则a_n=    ．（只要写出一个通项公式即可）

15. 难度：中等

已知向量与共线，其中A是△ABC的内角．
（1）求角A的大小；
（2）若BC=2，求△ABC面积S的最大值，并判断S取得最大值时△ABC的形状．

16. 难度：中等

如图，已知四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（1）求证：AE∥平面BDF；
（2）求三棱锥D-ACE的体积．

17. 难度：中等

田忌和齐王赛马是历史上有名的故事．设齐王的3匹马分别为A、B、C，田忌的3匹马分别为a，b，c，6匹马的奔跑速度由快到慢的顺序依次为：A，a，B，b，C，c．两人约定：6匹马均需参赛，共赛3场，每场比赛双方各出1匹马，最终至少胜两场者为获胜．
（1）如果双方均不知道对方的出马顺序，求田忌获胜的概率；
（2）颇有心计的田忌赛前派探子到齐王处打探实情，得知齐王第一场必出A马．那么，田忌应怎样安排马的出场顺序，才能使获胜的概率最大？

18. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知对于任意实数k，直线恒过定点F．设椭圆C的中心在原点，一个焦点为F，且椭圆C上的点到F的最大距离为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设（m，n）是椭圆C上的任意一点，圆O：x²+y²=r²（r＞0）与椭圆C有4个相异公共点，试分别判断圆O与直线l₁：mx+ny=1和l₂：mx+ny=4的位置关系．

19. 难度：中等

设数列{a_n}是由正数组成的等比数列，公比为q，S_n是其前n项和．
（1）证明；
（2）设，记数列{b_n}的前n项和为T_n，试比较q²S_n和T_n的大小．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-2acoskπ•lnx（k∈N^*，a∈R，且a＞0）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若k=2010，关于x的方程f（x）=2ax有唯一解，求a的值．

21. 难度：中等

如图，AB是⊙O的直径，C，F是⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D．连接CF交AB于点E．
求证：DE²=DB•DA．

22. 难度：中等

选修4-2：矩阵与变换求矩阵的特征值及对应的特征向量．

23. 难度：中等

已知曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ，设直线l的参数方程是（t为参数）．
（1）将曲线C的极坐标方程转化为直角坐标方程；
（2）设直线l与x轴的交点是M，N为曲线C上一动点，求|MN|的最大值．

24. 难度：中等

设a₁，a₂，a₃均为正数，且a₁+a₂+a₃=m，求证

25. 难度：中等

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，顶点A₁在底面ABC上的射影恰为点B，且AB=AC=A₁B=2．
（1）求棱AA₁与BC所成的角的大小；
（2）在棱B₁C₁上确定一点P，使，并求出二面角P-AB-A₁的平面角的余弦值．

26. 难度：中等

已知函数，g（x）=2（1+x）ln（1+x）-x²-2x．
（1）证明：当x∈（0，+∞）时，g（x）＜0；
（2）求函数f（x）的极值．