2010年浙江省舟山市七校高三第二次质量调研数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合S={x|log₂（x+1）＞0}，T={x|＜0}，则S∩T等于（ ）
A．（0，2）
B．（-1，2）
C．（-1，+∞）
D．（2，+∞）

2. 难度：中等

已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．（￢p）∨q
B．p∧q
C．（￢p）∧（￢q）
D．（￢p）∨（￢q）

3. 难度：中等

已知：=（tanθ，-1），=（1，-2），若（+）⊥（-），则tanθ=（ ）
A．2
B．-2
C．2或-2
D．0

4. 难度：中等

下列命题中，正确的是（ ）
A．直线l⊥平面α，平面β∥直线l，则α⊥β
B．平面α⊥β，直线m⊥β，则m∥α
C．直线l是平面α的一条斜线，且l⊂β，则α与β必不垂直
D．一个平面内的两条直线与另一个平面内的两条直线分别平行，则这两个平面平行

5. 难度：中等

设（1-2x）¹⁰=a+a₁x+a₂x²+…+a₁₀x¹⁰，则a₁+++…+则的值为（ ）
A．2
B．-2
C．2043
D．2046

6. 难度：中等

若a＜b＜0，则下列结论中正确的是（ ）
A．和均不能成立
B．和均不能成立
C．不等式和均不能成立
D．不等式和均不能成立

7. 难度：中等

椭圆（a＞b＞0）的离心率，A、B是椭圆上关于x、y轴均不对称的两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P（1，0），设AB的中点为C（x，y），则x的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

记者要为4名志愿者和他们帮助的1位老人拍照，要求排成一排，且老人必须排在正中间，那么不同的排法共有（ ）
A．120种
B．72种
C．56种
D．24种

9. 难度：中等

有下列命题：
①若f（x）存在导函数，则f′（2x）=[f（2x）]′；
②若函数h（x）=cos⁴x-sin⁴x，则h′（）=[h（）]′；
③若函数g（x）=（x-1）（x-2）…（x-2009）（x-2010），则g′（2010）=2009!；
④若三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d，则“a+b+c=0”是“f（x）有极值点”的充要条件．
其中真命题的序号是（ ）
A．③
B．①③④
C．①③
D．②③

10. 难度：中等

已知函教f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y=b（0＜b＜A）的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则f（x）的单调递增区间是（ ）
A．[6kπ，6kπ+3]，k∈Z
B．[6k-3，6k]，k∈Z
C．[6k，6k+3]，k∈Z
D．[6kπ-3，6kπ]，k∈Z

二、解答题

11. 难度：中等

若复数z=（x，y∈R，i为虚数单位）是实数，则x的值为    ．

12. 难度：中等

设f（x）是以4为周期的偶函数，且当x∈[0，2]时，f（x）=x，则f（7.6）=    ．

13. 难度：中等

已知角α终边上一点P（-4，3），求的值．    ．

14. 难度：中等

一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：cm），该几何体的体积为    cm³．

15. 难度：中等

已知1是a²，b²的等比中项，又是，的等差中项，则的值是    ．

16. 难度：中等

请阅读下列材料：若两个正实数a₁，a₂满足a₁²+a₂²=1，那么a₁+a₂．证明：构造函数f（x）=（x-a₁）²+（x-a₂）²=2x²-2（a₁+a₂）x+1，因为对一切实数x，恒有f（x）≥0，所以△≤0，从而得4（a₁+a₂）²-8≤0，所以a₁+a₂．根据上述证明方法，若n个正实数满足a₁²+a₂²+…+a_n²=1时，你能得到的结论为    ．

17. 难度：中等

三棱锥A-BCD内接于球0，BC=AD=2，AB=CD=2且∠BAD=∠BCD=，顶点A在面BCD上的射影恰在BD上，．一动点M从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其它3个顶点后回到出发点，则动点M经过的最短距离为    ．

18. 难度：中等

已知函数．
（I）求函数f（x）的最小正周期及图象的对称轴方程；
（II）设函数g（x）=[f（x）]²+f（x），求g（x）的值域．

19. 难度：中等

今天你低碳了吗？近来国内网站流行一种名为“碳排放计算器”的软件，人们可以由此计算出自己每天的碳排放量，如家居用电的碳排放量（千克）=耗电度数×0.785，汽车的碳排放量（千克）=油耗公升数×0.785等，某班同学利用寒假在两个小区逐户进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查．若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，这二族人数占各自小区总人数的比例P数据如下：

A小区	低碳族	非低碳族		B小区	低碳族	非低碳族
比例P				比例P

（1）如果甲、乙来自A小区，丙、丁来自B小区，求这4人中恰好有两人是低碳族的概率；
（2）A小区经过大力宣传，每周非低碳中有20%的人加入到低碳族的行列，如果两周后随机地从A小区中任选25个人，记ξ表示25个人中的低碳族人数，求Eξ和Dξ．

20. 难度：中等

如图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=2EC，
（1）求证：BE∥平面PDA；
（2）若N为线段PB的中点，求证：EN⊥平面PDB；
（3）若，求平面PBE与平面ABCD所成的二面角的大小．

21. 难度：中等

已知椭圆的离心率为．
（I）若原点到直线x+y-b=0的距离为，求椭圆的方程；
（II）设过椭圆的右焦点且倾斜角为45°的直线l和椭圆交于A，B两点．
（i）当，求b的值；
（ii）对于椭圆上任一点M，若，求实数λ，μ满足的关系式．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+lnx．
（I）已知α是方程xf（x）-x³=2009的根，β是方程xe^x=2009的根，求α•β的值．
（II）求证：在区间（1，+∞）上，函数f（x）图象在函数g（x）=x³图象的下方；
（Ⅲ）设函数h（x）=f′（x），求证：[h（x）]ⁿ+2≥h（xⁿ）+2ⁿ．