2010-2011学年河南省豫南九校高三第一次联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集I是实数集R，M={x|x²＞4}与N={x|1＜x≤3}都是I的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为（ ）
A．{x|x＜2}
B．{x|-2≤x＜1}
C．{x|-2≤x≤2}
D．{x|1＜x≤2}

2. 难度：中等

复数在复平面内的对应点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

3. 难度：中等

已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则（ ）
A．¬p：∃x∈R，sinx≥1
B．¬p：∀x∈R，sinx≥1
C．¬p：∃x∈R，sinx＞1
D．¬p：∀x∈R，sinx＞1

4. 难度：中等

函数的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

在f（x）=x³+3x²+6x-10的切线中，斜率最小的切线方程为（ ）
A．3x+y-11=0
B．3x-y+6=0
C．x-3y-11=0
D．3x-y-11=0

6. 难度：中等

下列函数中既是奇函数又在区间[-1，1]上单调递减的是（ ）
A．y=sin
B．a＜b
C．
D．

7. 难度：中等

以下四个命题中，其中正确的个数为（ ）
①命题“若x=2则x²=4”的逆否命题；
②“是“sin2a=1”的充分不必要条件；
③命题“若q≤1，则x²+2x+q=0有实根”的否命题；
④若p∧q为假，p∨q为真；则p、q有且仅有一个是真命题．
A．1
B．2
C．3
D．4

8. 难度：中等

已知函数f（x）=，若数列{a_n}满足a_n=f（n）（n∈N^﹡），且{a_n}是递增数列，则实数a的取值范围是（ ）
A．[，3）
B．（，3）
C．（2，3）
D．（1，3）

9. 难度：中等

已知a、b都是正实数，函数y=2ae^x+b的图象过（0，2）点，则的最小值是（ ）
A．
B．
C．4
D．2

10. 难度：中等

若关于x的方程有两个不相等的实数解，则实数m的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

已知函数f（x）=sin（x+θ）+cos（x+θ）的导函数为g（x），若对任意实数x，都有g（x）+g（-x）=0则f（θ）等于（ ）
A．1
B．-1
C．0
D．1或-1，

12. 难度：中等

现定义一种运算⊗；当m、n都是正偶数或都是正奇数时，m⊗n=m+n；当m、n中一个为正奇数另一个为正偶数时，m⊗n=mn，则集合M={（a，b）|a⊗b=36，a∈N^*，b∈N^*}中的元素个数是（ ）
A．21
B．26
C．31
D．41

二、解答题

13. 难度：中等

已知f（x）=则f（f（π））=   

14. 难度：中等

已知点P（x、y）满足不等式组，则的取值范围是     ．

15. 难度：中等

在（-∞，1]内是增函数，则实数a的取值范围是    ．

16. 难度：中等

已知函数y=f（x）是R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，当x₁，x₂∈[0，2]且x₁≠x₂时，都有给出下列命题：
（1）f（2）=0且T=4是函数f（x）的一个周期；
（2）直线x=4是函数y=f（x）的一条对称轴；
（3）函数y=f（x）在[-6，-4]上是增函数；
（4）函数y=f（x）在[-6，6]上有四个零点．
其中正确命题的序号是     （填上你认为正确的所有序号）

17. 难度：中等

已知等差数列{a_n}为递增数列，且a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的两根，数列{b_n}的前n项和；
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）若，s_n为数列{c_n}的前n项和，证明：s_n＜1

18. 难度：中等

某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：

周销售量	2	3	4
频数	20	50	30

（1）根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率；
（2）已知每吨该商品的销售利润为2千元，ξ表示该种商品两周销售利润的和（单位：千元），若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求ξ的分布列和数学期望．

19. 难度：中等

四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1．E为BC的中点．
（1）求异面直线NE与AM所成角的余弦值；
（2）在线段AN上是否存在点S，使得ES⊥平面AMN？
（3）若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

已知椭圆的离心率，短轴长为2．
（1）求椭圆方程；
（2）若椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，经过点且斜率k的直线l与椭圆交于不同的两点P、Q．是否存在常数k，使得向量共线？如果存在，求k的值；如果不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

已知函数+bx（a＞0）且f′（1）=0，
（1）试用含a的式子表示b，并求函数f（x）的单调区间；
（2）已知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（0＜x₁＜x₂）为函数f（x）图象上不同两点，G（x，y）为AB的中点，记AB两点连线斜率为K，证明：f′（x）≠K．

22. 难度：中等

如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB、FC．
（1）求证：FB=FC；
（2）求证：FB²=FA•FD；

23. 难度：中等

已知函数f（x）=|x+2|-|x-1|．
（Ⅰ）试求f（x）的值域；
（Ⅱ）设若对∀s∈（0，+∞），∀t∈（-∞，+∞），恒有g（s）≥f（t）成立，试求实数a的取值范围．