2011年高三数学第一轮复习巩固与练习：空间向量的应用（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设平面α的法向量为（1，2，-2），平面β的法向量为（-2，-4，k），若α∥β，则k=（ ）
A．2
B．-4
C．4
D．-2

2. 难度：中等

如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是=（0，2，1），=（，，），那么这条斜线与平面的夹角是（ ）
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°

3. 难度：中等

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=1，则BC₁与平面BB₁D₁D所成角的正弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

下列命题中，正确命题的个数为（ ）
①若，分别是平面α，β的法向量，则∥⇔α∥β；
②若，分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔•=0；
③若是平面α的法向量，a与α共面，则•a=0；
④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．
A．1
B．2
C．3
D．4

5. 难度：中等

已知平面α内有一个点M（1，-1，2），平面α的一个法向量是=（6，-3，6），则下列点P中在平面α内的是（ ）
A．P（2，3，3）
B．P（-2，0，1）
C．P（-4，4，0）
D．P（3，-3，4）

6. 难度：中等

正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（ ）
A．75°
B．60°
C．45°
D．30°

7. 难度：中等

如右图所示，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是正方形ADD₁A₁和ABCD的中心，G是CC₁的中点，设GF、C₁E与AB所成的角分别为α、β，则α+β等于（ ）

A．120°
B．60°
C．75°
D．90°

8. 难度：中等

若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成二面角的余弦值是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，若E为A₁C₁中点，则直线CE垂直于（ ）
A．AC
B．BD
C．A₁D
D．A₁A

二、解答题

10. 难度：中等

长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AA₁=2，AD=1，E为CC₁的中点，则异面直线BC₁与AE所成角的余弦值为    ．

11. 难度：中等

在空间直角坐标系中，定义：平面α的一般方程为：Ax+By+Cz+D=0（A，B，C，D∈R，且A，B，C不同时为零），点P（x，y，z）到平面α的距离为：d=．则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心O到侧面的距离等于     ．

12. 难度：中等

正四棱锥S-ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO=OD，则直线BC与平面PAC所成的角是     ．

13. 难度：中等

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，E、F分别是棱BC、DD₁上的点，如果B₁E⊥平面ABF，则CE与DF的和的值等于     ．

14. 难度：中等

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1，AA₁=2，则二面角C₁-AB-C的余弦值为     ．

15. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC，E、F分别是AB、PB的中点．
（1）求证：EF⊥CD；
（2）求DB与平面DEF所成角的正弦值．

16. 难度：中等

如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AA₁=4，E为BC的中点，F为CC₁的中点．
（1）求EF与平面ABCD所成的角的余弦值；
（2）求二面角F-DE-C的余弦值．

17. 难度：中等

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长均为2，P是侧棱AA₁上任意一点．
（1）求正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积；
（2）判断直线B₁P与平面ACC₁A₁是否垂直，请证明你的结论；
（3）当BC₁⊥B₁P时，求二面角C-B₁P-C₁的余弦值．

18. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．
（1）点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；
（2）求证：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF；
（3）当BE为何值时，PA与平面PDE所成角的大小为45°？