2010年上海市虹口区高考数学二模试卷（文理合卷）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

若=0，则复数z=    ．

2. 难度：中等

已知l₁：2x+my+1=0与l₂：y=3x-1，若两直线平行，则m的值为    ．

3. 难度：中等

若函数f（x）的反函数是f^-1（x）=log₂（x-1），则=    ．

4. 难度：中等

已知向量，满足||=1，||=2，与的夹角为60°，则|-|=    ．

5. 难度：中等

以双曲线的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆方程是     ．

6. 难度：中等

函数y=2cos²x+sin2x的最小值是    ．

7. 难度：中等

本题流程图运行后，所得i值的输出结果是     ．

8. 难度：中等

展开式中常数项为    ．

9. 难度：中等

若函数f（x）=（x+a）（bx+2a）（常数a、b∈R）是偶函数，且它的值域为（-∞，4]，则该函数的解析式f（x）=    ．

10. 难度：中等

一组数据3、4、5、a、7的平均数是5，则它的方差是     ．

11. 难度：中等

当时，不等式sinπx≥kx恒成立．则实数k的取值范围是    ．

12. 难度：中等

变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=5x+y的最小值为    ．

13. 难度：中等

从集合{1，2，3，4}的所有非空子集中，等可能地取出一个．
（理）记所取出的非空子集中元素的个数为ξ，则ξ的数学期望=    ．
（文）取出的非空子集中所有元素之和恰为6的概率=    ．

14. 难度：中等

如对自然数n作竖式加法n+（n+1）+（n+2）均不产生进位现象，则称n为“可连数”．例如：32是“可连数”，因32+33+34不产生进位现象，而23不是可连数，因23+24+25产生进位现象，那么小于200的“可连数”共有    个．

二、选择题

15. 难度：中等

已知：过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离是球半径的，且，，则球的表面积是（ ）
A．81π*
B．9π
C．
D．

16. 难度：中等

已知：y=f（x）是最小正周期为2的函数，当x∈[-1，1]时，f（x）=x²，则函数y=f（x）（x∈R）图象与y=|log₅|x||图象的交点的个数是（ ）
A．8
B．9*
C．10
D．12

17. 难度：中等

圆x²+y²-2x-1=0关于直线2x-y+3=0对称的圆的方程是（ ）
A．
B．
C．（x+3）²+（y-2）²=2
D．（x-3）²+（y+2）²=2

18. 难度：中等

如果S_n=1+2+…+n（n∈N^*），（n≥2，n∈N^*），则下列各数中与T₂₀₁₀最接近的数是（ ）
A．2.9
B．3.0
C．3.1
D．3.2

三、解答题

19. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1，BC=2，E为PD的中点
（1）求异面直线PA与CE所成角的大小；
（2）（理）求二面角E-AC-D的大小．
（文）求三棱锥A-CDE的体积．

20. 难度：中等

△ABC中，角A、B、C的对边依次为a、b、c．已知a=3，b=4，外接圆半径，c边长为整数，
（1）求∠A的大小（用反三角函数表示）；
（2）求边长c；
（3）在AB、AC上分别有点D、E，线段DE将△ABC分成面积相等的两部分，求线段DE长的最小值．

21. 难度：中等

如图所示，某人在斜坡P处仰视正对面山顶上一座铁塔，塔高AB=80米，塔所在山高OA=220米，OC=200米，观测者所在斜坡CD近似看成直线，斜坡与水平面夹角为α，
（1）以射线OC为Ox轴的正向，OB为Oy轴正向，建立直角坐标系，求出斜坡CD所在直线方程；
（2）当观察者P视角∠APB最大时，求点P的坐标（人的身高忽略不计）．

22. 难度：中等

如图，F是抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，Q是准线与x轴的交点，斜率为k的直线l经过点Q．
（1）当K取不同数值时，求直线l与抛物线交点的个数；
（2）如直线l与抛物线相交于A、B两点，求证：K_FA+K_FB是定值
（3）在x轴上是否存在这样的定点M，对任意的过点Q的直线l，如l
与抛物线相交于A、B两点，均能使得k_MA•k_MB为定值，有则找出满足条
件的点M；没有，则说明理由．

23. 难度：中等

已知：正数数列{a_n}的通项公式a_n=（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的最大项；
（2）设b_n=，确定实常数p，使得{b_n}为等比数列；
（3）（理）数列{C_n}，满足C₁＞-1，C₁≠，C_n+1=，其中p为第（2）小题中确定的正常数，求证：对任意n∈N*，有C_2n-1＞且C_2n＜或C_2n-1＜且C_2n＞成立．
（文）设{b_n}是满足第（2）小题的等比数列，求使不等式-b₁+b₂-b₃+…+（-1）ⁿb_n≥2010成立的最小正整数n．