2006年高考第一轮复习数学：9.3 直线与平面垂直（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的（ ）
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件

2. 难度：中等

给出下列命题，其中正确的两个命题是（ ）
①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面③直线m⊥平面α，直线n⊥m，则n∥α  ④a、b是异面直线，则存在唯一的平面α，使它与a、b都平行且与a、b距离相等．
A．①②
B．②③
C．③④
D．②④

3. 难度：中等

在正方形SG₁G₂G₃中，E、F分别是G₁G₂及G₂G₃的中点，D是EF的中点，现在沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G₁、G₂、G₃三点重合，重合后的点记为G，那么，在四面体S-EFG中必有（ ）

A．SG⊥△EFG所在平面
B．SD⊥△EFG所在平面
C．GF⊥△SEF所在平面
D．GD⊥△SEF所在平面

4. 难度：中等

PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A、B的任一点，则下列关系不正确的是．
A．PA⊥BC
B．BC⊥平面PAC
C．AC⊥PB
D．PC⊥BC

二、解答题

5. 难度：中等

在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，当底面四边形ABCD满足条件    时，有A₁C⊥B₁D₁．（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）

6. 难度：中等

设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，则
（1）A点到面BDD₁B₁的距离为     ；
（2）A点到面A₁BD的距离为     ；
（3）AA₁与面BB₁D₁D的距离为     ．

7. 难度：中等

△ABC的三个顶点A、B、C到平面α的距离分别为2 cm、3 cm、4 cm，且它们在α的同侧，则△ABC的重心到平面α的距离为    ．

8. 难度：中等

Rt△ABC在平面α内的射影是△A₁B₁C₁，设直角边AB∥α，则△A₁B₁C₁的形状是    三角形．

9. 难度：中等

下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是    （写出所有符合要求的图形序号）．

10. 难度：中等

已知直线a⊥平面α，直线b⊥平面α，O、A为垂足．求证：a∥b．

11. 难度：中等

已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过A点作AE⊥PC于点E，求证：AE⊥平面PBC．

12. 难度：中等

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC₁⊥AB₁，BC₁⊥A₁C，求证：AB₁=A₁C．

13. 难度：中等

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为CC₁的中点，AC交BD于点O，求证：A₁O⊥平面MBD．

14. 难度：中等

在三棱锥S-ABC中，N是S在底面ABC上的射影，且N在△ABC的AB边的高CD上，点M∈SC，截面MAB和底面ABC所成的二面角M-AB-C等于∠NSC，求证：SC⊥截面MAB．

15. 难度：中等

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=8，∠BAC=60°，PC⊥平面ABC，PC=4，M为AB边上的一个动点，求PM的最小值．

16. 难度：中等

如图所示，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F．求证：（1）BC⊥平面PAB；
（2）AE⊥平面PBC；
（3）PC⊥EF．

17. 难度：中等

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2，BC=a，又侧棱PA⊥底面ABCD．
（1）当a为何值时，BD⊥平面PAC？试证明你的结论．
（2）当a=4时，求证：BC边上存在一点M，使得PM⊥DM．
（3）若在BC边上至少存在一点M，使PM⊥DM，求a的取值范围．

18. 难度：中等

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=AA₁=2，则BC₁与平面BB₁D₁D所成角为 ______．

19. 难度：中等

如图，点P为斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱BB₁上一点，PM⊥BB₁交AA₁于点M，PN⊥BB₁交CC₁于点N．
（1）求证：CC₁⊥MN；
（2）在任意△DEF中有余弦定理：DE²=DF²+EF²-2DF•EFcos∠DFE．拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．