2007年北京市丰台区高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若全集U=R，集合，则M∩（C_UN）等于（ ）
A．{x|x＜-2}
B．{x|x＜-2或x≥3}
C．{x|x≥3}
D．{x|-2≤x＜3}

2. 难度：中等

某中学初一年级540人，初二年级440人，初三年级420人，用分层抽样的方法，抽取容量为70的样本，则初一、初二、初三三个年级分别抽取（ ）
A．28人，24人，18人
B．25人，24人，21人
C．26人，24人，20人
D．27人，22人，21人

3. 难度：中等

以原点为顶点，坐标轴为对称轴的抛物线经过点A（1，2），则该抛物线的焦点坐标为（ ）
A．（1，0）或（0，1）
B．（2，0）或（0，2）
C．（1，0）或
D．（2，0）或

4. 难度：中等

某小组有4名男生，5名女生，从中选派5人参加竞赛，要求有女生且女生人数少于男生人数的选派方法种数有（ ）
A．40
B．45
C．105
D．110

5. 难度：中等

以下四个命题中的假命题是（ ）
A．“直线a、b是异面直线”的必要不充分条件是“直线a、b不相交”
B．直线“a⊥b”的充分不必要条件是“a垂直于b所在的平面”
C．两直线“a∥b”的充要条件是“直线a，b与同一平面α所成角相等”
D．“直线a∥平面α”的必要不充分条件是“直线a平行于平面α内的一条直线”

6. 难度：中等

已知函数f（x）的图象按平移后得到的图象的函数解析式为，则函数f（x）的解析式为（ ）
A．y=cos
B．y=-cos
C．y=-sin
D．y=sin

7. 难度：中等

如果f（a+b）=f（a）•f（b）且f（1）=2，则+++…+等于（ ）
A．2003
B．1001
C．2004
D．2002

8. 难度：中等

正三棱锥V-ABC的底面边长为2a，E、F、G、H分别是VA、VB、BC、AC的中点，则四边形EFGH面积的取值范围是（ ）
A．（0，+∞）
B．
C．
D．

二、解答题

9. 难度：中等

在的展开式中，常数项等于    （用数字作答）

10. 难度：中等

设复数z₁=2-3i、z₂=3-2i在复平面内所对应的点分别为P₁、P₂，则=    ．

11. 难度：中等

已知，则的最大值是    ．

12. 难度：中等

已知α、β均为锐角，且cos（α+β）=sin（α-β），则tan α=    ．

13. 难度：中等

设f（x）=log₂x的反函数为f^-1（x），且f^-1（a）+f^-1（b）=4，则a+b的最大值是    ．

14. 难度：中等

若△ABC中，，则角C的大小是     ，若|AB|=5，则|AC|=    ．

15. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+bx²+cx+1的单调递增区间是（-∞，-2]与[2，+∞），单调递减区间是[-2，2]．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）若f（x）的图象与直线y=m恰有三个公共点，求m的取值范围．

16. 难度：中等

某公司的“咨询热线”电话共有6条外线，经长期统计发现，每天在电话高峰期内，外线电话同时打入的概率如下表（记电话同时打入数为ξ）：

ξ		1	2	3	4	5	6
P	0.13	0.35	0.27	0.14	0.08	0.02	0.01

（I）求ξ的数学期望Eξ；
（II）如果公司每天只安排两位接线员（一位接线员一次只能接一个电话），
①求每天电话高峰期内至少有一路电话不能一次接通的概率（用最简分数表示）；
②公司董事会决定，把“一周五个工作日中至少有四天在电话高峰期内电话都能一次接通”的概率视作公司的“美誉度”，如果“美誉度”低于0.8，就增派接线员，请你帮助计算一下，该公司是否需要增派接线员．

17. 难度：中等

如图，梯形ABCD中，CD∥AB，，E是AB的中点，将△ADE沿DE折起，使点A折到点P的位置，且二面角P-DE-C的大小为120°．
（I）求证：DE∥平面PBC；
（II）求证：DE⊥PC；
（III）求直线PD与平面BCDE所成角的正弦值．

18. 难度：中等

二次函数f（x）=ax²+bx（a≠0）满足条件：①对任意x∈R，均有f（x-4）=f（2-x）；②函数f（x）的图象与直线y=x相切．
（I）求f（x）的解析式；
（II）当且仅当x∈[4，m]（m＞4）时，f（x-t）≤x恒成立，试求t、m的值．

19. 难度：中等

数列{a_n}、{b_n}满足a₃=b₃=6，a₄=b₄=4，a₅=b₅=3，且{a_n+1-a_n}（n∈N^*）是等差数列，{b_n-2}（n∈N^*）是等比数列．
（I）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（II）n取何值时，a_n-b_n取到最小正值？试证明你的结论．

20. 难度：中等

在平面直角坐标系xoy中，已知三点A（-1，0），B（1，0），C（-1，），以A、B为焦点的椭圆经过点C．
（I）求椭圆的方程；
（II）设点D（0，1），是否存在不平行于x轴的直线l与椭圆交于不同两点M、N，使？若存在，求出直线l斜率的取值范围；若不存在，请说明理由；
（III）若对于y轴上的点P（0，n）（n≠0），存在不平行于x轴的直线l与椭圆交于不同两点M、N，使，试求n的取值范围．