2011年上海市松江区、徐汇区高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

方程4^x+2^x-2=0的解是    ．

2. 难度：中等

设集合，则A∪B=    ．

3. 难度：中等

已知圆x²-4x-4+y²=0的圆心是点P，则点P到直线x-y-1=0的距离是    ．

4. 难度：中等

若，则行列式=    ．

5. 难度：中等

已知向量，则向量在向量的方向上的投影为    ．

6. 难度：中等

已知无穷等比数列{a_n}的各项和为4，则首项a₁的取值范围是    ．

7. 难度：中等

若函数f（x）=（x+a）（bx+2a）（常数a、b∈R）是偶函数，且它的值域为（-∞，4]，则该函数的解析式f（x）=    ．

8. 难度：中等

一颗骰子投两次，记第一次得到的数值为a，第二次得到的数值为b，将它们作为关于x、y的二元一次方程组的系数，则方程组有唯一解的概率为    ．（用数字作答）

9. 难度：中等

已知函数y=f（x）存在反函数y=f^-1（x），若函数y=f（1+x）的图象经过点（3，1），则函数y=f^-1（x）的图象必经过点    ．

10. 难度：中等

函数f（x）=lg（x²-ax-1）在区间（1，+∞）上为单调增函数，则a的取值范围是    ．

11. 难度：中等

若（1-3x）²⁰¹⁰=a+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₁₀x²⁰¹⁰（x∈R），则=    ．

12. 难度：中等

已知x是1，2，3，x，5，6，7这七个数据的中位数，且1，3，x²，-y这四个数据的平均数为1，则的最小值为    ．

13. 难度：中等

设a，b∈R，且b≠1．若函数y=a|x-1|+b的图象与直线y=x恒有公共点，则a，b应满足的条件是    ．

14. 难度：中等

设数列{a_n}是公差不为零的等差数列，前n项和为S_n，满足a₂²+a₃²=a₄²+a₅²，S₇=7，则使得为数列{a_n}中的项的所有正整数m的值为    ．

二、选择题

15. 难度：中等

已知a，b都是实数，那么“a²＞b²”是“a＞b”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

16. 难度：中等

以下向量中，能成为以行列式形式表示的直线方程的一个法向量的是（ ）
A．=（-1，-2）
B．=（2，1）
C．=（1，-2）
D．=（-2，1）

17. 难度：中等

定义平面向量之间的一种运算“*”如下：对任意的，令．给出以下四个命题：（1）若与共线，则；（2）；（3）对任意的λ∈R，有（4）．则其中所有真命题的序号是（ ）
A．（1）（2）（3）
B．（2）（3）（4）
C．（1）（3）（4）
D．（1）（2）（4）

18. 难度：中等

函数y=的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．

三、解答题

19. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且sinCcosB+sinBcosC=3sinAcosB．
（1）求cosB的值；
（2）若，且，求a和c的值．

20. 难度：中等

设函数．
（1）当a=2时，求函数f（x）的最小值；
（2）当0＜a＜1时，试判断函数f（x）的单调性，并证明．

21. 难度：中等

已知关于x的不等式（kx-k²-4）（x-4）＞0，其中k∈R．
（1）求上述不等式的解；
（2）是否存在实数k，使得上述不等式的解集A中只有有限个整数？若存在，求出使得A中整数个数最少的k的值；若不存在，请说明理由．

22. 难度：中等

各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，满足2（S_n+1）=a_n²+a_n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b₁=2，b_n+1=2b_n（n∈N^*），数列{c_n}满足，数列{c_n}的前n项和为T_n，求T_n；
（3）若数列，甲同学利用第（2）问中的T_n，试图确定T_2k-P_2k（k∈N^*）的值是否可以等于2011？为此，他设计了一个程序（如图），但乙同学认为这个程序如果被执行会是一个“死循环”（即程序会永远循环下去，而无法结束），你是否同意乙同学的观点？请说明理由．

23. 难度：中等

圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦．若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴弦．已知点P（x，y）、M（m，n）是圆锥曲线C上不与顶点重合的任意两点，MN是垂直于x轴的一条垂轴弦，直线MP、NP分别交x轴于点E（x_E，0）和点F（x_F，0）．
（1）试用x，y，m，n的代数式分别表示x_E和x_F；
（2）若C的方程为（如图），求证：x_E•x_F是与MN和点P位置无关的定值；
（3）请选定一条除椭圆外的圆锥曲线C，试探究x_E和x_F经过某种四则运算（加、减、乘、除），其结果是否是与MN和点P位置无关的定值，写出你的研究结论并证明．