2009年广东省深圳市高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

如果复数（2+ai）i（a∈R）的实部与虚部互为相反数，则a的值等于（ ）
A．-1
B．1
C．-2
D．2

2. 难度：中等

如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）
A．9π
B．10π
C．11π
D．12π

3. 难度：中等

已知函数f（x）=log_a（x+b）的大致图象如图，其中a，b为常数，则函数g（x）=a^x+b的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

设平面区域D是由双曲线的两条渐近线和椭圆的右准线所围成的三角形（含边界与内部）．若点（x，y）∈D，则目标函数z=x+y的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．6

5. 难度：中等

定义行列式运算，将函数的图象向左平移n（n＞0）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则n的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

利用计算机在区间（0，1）上产生两个随机数a和b，则方程有实根的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么x+y+z的值为（ ）

2		4
1		2
		x
			y
				z

A．1
B．2
C．3
D．4

8. 难度：中等

用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1，2，…，9的9个小正方形（如图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（ ）

A．108种
B．60种
C．48种
D．36种

二、解答题

9. 难度：中等

某大型超市销售的乳类商品有四种：纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉，且纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉分别有30种、10种、35种、25种不同的品牌．现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为n的样本进行三聚氰胺安全检测，若抽取的婴幼儿奶粉的品牌数是7，则n=    ．

10. 难度：中等

在的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则第4项的系数是     ．（用数字作答）

11. 难度：中等

已知命题p：∀x∈R，ax²+2x+3＞0，如果命题￢p是真命题，那么实数a的取值范围是    ．

12. 难度：中等

已知点G是△ABC的重心，，那么λ+μ=    ；若∠A=120°，，则的最小值是    ．

13. 难度：中等

在直角坐标系中，曲线C₁的参数方程为θ∈[0，π]，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂在极坐标系中的方程为．若曲线C₁与C₂有两个不同的交点，则实数b的取值范围是     ．

14. 难度：中等

如图，PT切圆O于点T，PA交圆O于A、B两点，且与直径CT交于点D，CD=2，AD=3，BD=6，则PB=    ．

15. 难度：中等

若不等式|a-1|≥x+2y+2z，对满足x²+y²+z²=1的一切实数x、y、z恒成立，则实数a的取值范围是    ．

16. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）设，求f（x）的值域和单调递增区间．

17. 难度：中等

如图所示，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在平面和圆O所在的平面互相垂直．已知AB=2，EF=1
（1）求证：平面DAF⊥平面CBF；
（2）求直线AB与平面CBF所成角的大小；
（3）当AD的长为何值时，二面角D-FE-B的大小为60°？

18. 难度：中等

甲乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分（无平局），比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为p，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为．
（Ⅰ）若右图为统计这次比赛的局数n和甲、乙的总得分数S、T的程序框图．其中如果甲获胜，输入a=1，b=0；如果乙获胜，则输入a=0，b=1．请问在第一、第二两个判断框中应分别填写什么条件？
（Ⅱ）求p的值；
（Ⅲ）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．
注：“n=0”，即为“n←0”或为“n：=0”．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=ln（1+ax）-x²（a＞0，x∈（0，1]）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若不等式对一切正整数n恒成立，求实数λ的取值范围．

20. 难度：中等

在四边形ABCD中，已知A（0，0），D（0，4），点B在x轴上，BC∥AD，且对角线AC⊥BD．
（Ⅰ）求点C的轨迹方程；
（Ⅱ）若点P是直线y=2x-5上任意一点，过点P作点C的轨迹的两切线PE、PF，E、F为切点，M为EF的中点．求证：PM⊥x轴；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，直线EF是否恒过一定点？若是，请求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．

21. 难度：中等

已知函数，f′（x）为函数f（x）的导函数．
（Ⅰ）若数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=f'（a_n）+f′（n）（n∈N^*），求数列{a_n}的通项a_n；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足：b₁=b，b_n+1=2f（b_n）（n∈N^*）．
（ⅰ）当时，数列{b_n}是否为等差数列？若是，请求出数列{b_n}的通项b_n；若不是，请说明理由；
（ⅱ）当时，求证：．