2006年高考第一轮复习数学：9.5 两个平面垂直（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在三棱锥A-BCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，△BCD是锐角三角形，那么必有（ ）
A．平面ABD⊥平面ADC
B．平面ABD⊥平面ABC
C．平面ADC⊥平面BCD
D．平面ABC⊥平面BCD

2. 难度：中等

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=AA₁=a，则点A到平面A₁BC的距离是（ ）
A．a
B．a
C．a
D．a

3. 难度：中等

设两个平面α、β，直线l，下列三个条件：①l⊥α；②l∥β；③α⊥β．若以其中两个作为前提，另一个作为结论，则可构成三个命题，这三个命题中正确的个数为（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0

4. 难度：中等

P为△ABC所在平面外的一点，则点P在此三角形所在平面上的射影是△ABC垂心的充分必要条件是（ ）
A．PA=PB=PC
B．PA⊥BC，PB⊥AC
C．点P到△ABC三边所在直线距离相等
D．平面PAB、平面PBC、平面PAC与△ABC所在的平面所成的角相等

5. 难度：中等

m、n表示直线，α、β、γ表示平面，给出下列四个命题，其中正确命题为（ ）
①α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则α⊥β 
②α⊥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m⊥n
③α⊥β，α⊥γ，β∩γ=m，则m⊥α  
④m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
A．①②
B．②③
C．③④
D．②④

二、解答题

6. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，截面A₁BD与底面ABCD所成的二面角A₁-BD-A的正切值为    

7. 难度：中等

夹在互相垂直的两个平面之间长为2a的线段和这两个平面所成的角分别为45°和30°，过这条线段的两个端点分别向这两个平面的交线作垂线，则两垂足间的距离为    ．

8. 难度：中等

设a、b是异面直线，α、β是两个平面，且a⊥α，b⊥β，a⊄β，b⊄α，则当     （填上一种条件即可）时，有α⊥β．

9. 难度：中等

三个平面两两互相垂直，它们的三条交线交于一点O，P到三个平面的距离分别是3、4、5，则OP的长为    ．

10. 难度：中等

已知m、l是直线，α、β是平面，给出下列命题：①若l垂直于α内两条相交直线，则l⊥α；②若l平行于α，则l平行于α内所有的直线；③若m⊊α，l⊊β且l⊥m，则α⊥β；④若l⊊β且l⊥α，则α⊥β；⑤若m⊊α，l⊊β且α∥β，则l∥m．其中正确命题的序号是     ．

11. 难度：中等

如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC⊥平面BSC．

12. 难度：中等

如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC．
（1）求证：AB⊥BC；
（2）若设二面角S-BC-A为45°，SA=BC，求二面角A-SC-B的大小．

13. 难度：中等

已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，若过面对角线AB₁与另一面对角线BC₁平行的平面交上底面A₁B₁C₁的一边A₁C₁于点D．
（1）确定D的位置，并证明你的结论；
（2）证明：平面AB₁D⊥平面AA₁D．

14. 难度：中等

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为的正方形，侧棱长为，E、F分别是AB₁、CB₁的中点，求证：平面D₁EF⊥平面AB₁C．

15. 难度：中等

如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面边长为，侧棱长为4．E，F分别为棱AB，BC的中点，EF∩BD=G．
（Ⅰ）求证：平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁；
（Ⅱ）求点D₁到平面B₁EF的距离d；
（Ⅲ）求三棱锥B₁-EFD₁的体积V．

16. 难度：中等

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱长为a．求：
（1）AB与B₁C所成的角；
（2）AB与B₁C间的距离；
（3）AB与B₁D间的距离．

17. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，PA⊥底面ABCD，E为AB的中点，且PA=AB．
（1）求证：平面PCE⊥平面PCD；
（2）求点D到平面PCE的距离．

18. 难度：中等

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AA₁，E是棱BB₁的中点．
（1）求证：平面A₁EC⊥平面AA₁C₁C；
（2）若我们把平面A₁EC与平面A₁B₁C₁所成的锐二面角为60°时的正三棱柱称为“黄金棱柱”，请判断此三棱柱是否为“黄金棱柱”，并说明理由．

19. 难度：中等

如图在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°，且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．
（1）若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；
（2）求二面角A-BC-P的大小．

20. 难度：中等

如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC．
（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；
（2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面．

21. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PD的中点，又二面角P-CD-B为45°．
（1）求证：AF∥平面PEC；
（2）求证：平面PEC⊥平面PCD；
（3）设AD=2，CD=2，求点A到平面PEC的距离．