2009年高考数学压轴试卷集锦（9）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+mx+n的图象过点（1，3），且f（-1+x）=f（-1-x）对任意实数都成立，函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于原点对称．
（1）求f（x）与g（x）的解析式；
（2）若F（x）=g（x）-λf（x）在[-1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．

2. 难度：中等

已知数列{a_n}和等比数列{b_n}满足：a₁=b₁=4，a₂=b₂=2，a₃=1，且数列{a_n+1-a_n}是等差数列，n∈N^*，
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）问是否存在k∈N^*，使得？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

3. 难度：中等

数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和S_n与a_n之间满足a_n=（n≥2）．
（1）求证：数列{}的通项公式；
（2）设存在正数k，使（1+S₁）（1+S₂）..（1+S_n）对一切n∈N^×都成立，求k的最大值．

4. 难度：中等

已知F₁、F₂分别是椭圆=1（a＞b＞0 ）的左、右焦点，其左准线与x轴相交于点N，并且满足，．设A、B是上半椭圆上满足=的两点，其中λ∈[]．
（1）求此椭圆的方程及直线AB的斜率的取值范围；
（2）设A、B两点分别作此椭圆的切线，两切线相交于一点P，求证：点P在一条定直线上，并求点P的纵坐标的取值范围．

5. 难度：中等

如图，已知：AB是⊙O的直径，AC是切线，A为切点，BC交⊙O于点D，切线DE交AC于点E．求证：AE=EC．

6. 难度：中等

已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，直线l过点A（4，0）且与抛物线交于P，Q两点．并设以弦PQ为直径的圆恒过原点．
（Ⅰ）求焦点坐标；
（Ⅱ）若+=，试求动点R的轨迹方程．

7. 难度：中等

已知椭圆+=1（a＞b＞0）上的点到右焦点F的最小距离是-1，F到上顶点的距离为，点C（m，0）是线段OF上的一个动点．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点，使得（+）⊥，并说明理由．

8. 难度：中等

椭圆的对称中心在坐标原点，一个顶点为A（0，2），右焦点F与点的距离为2．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在斜率k≠0的直线l：y=kx-2，使直线l与椭圆相交于不同的两点M，N满足，若存在，求直线l的倾斜角α；若不存在，说明理由．

9. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且对一切正整数n都有S_n=n²+a_n．
（1）证明：a_n+1+a_n=4n+2；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设f（n）=（）（）..（），求证：f（n+1）＜f（n）对一切n∈N^×都成立．

10. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前三项为a-1，4，2a，记前n项和为S_n．
（Ⅰ）设S_k=2550，求a和k的值；
（Ⅱ）设b_n=，求b₃+b₇+b₁₁+…+b_4n-1的值．