2007年北京市石景山区高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集U={1，3，5，7，9}，集合A={1，|a-5|，9}，∁_UA={5，7}，则实数a的值是（ ）
A．2
B．8
C．-2或8
D．2或8

2. 难度：中等

若复数z₁=3+i，z₂=1-i，则z₁•z₂在复数z₁•z₂平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

3. 难度：中等

把函数的图象向右平移个单位，所得图象对应函数的最小正周期是（ ）
A．π
B．2π
C．4π
D．

4. 难度：中等

光线沿直线y=2x+1射到直线y=x上，被直线y=x反射后的光线所在的直线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

从4台A型笔记本电脑与5台B型笔记本电脑中任选3台，其中至少要有A型和B型笔记本电脑各一台，则不同的选取方法共有（ ）
A．140种
B．84种
C．70种
D．35种

6. 难度：中等

对于直线m、n和平面α，下面命题中的真命题是（ ）
A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥α
B．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交
C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥n
D．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n

7. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足，那么的值为（ ）
A．
B．
C．1
D．-2

8. 难度：中等

已知函数f（x）（x∈R）的图象如图所示，则函数的单调递减区间是（ ）

A．（-∞，0]，（1，+∞）
B．（-1，1），（1，2）
C．（-∞，1），（1，+∞）
D．[-1，1）

二、解答题

9. 难度：中等

若（x+2a）⁸的展开式中含x⁶项的系数是448，则正实数a的值为    ．

10. 难度：中等

圆为参数）的标准方程是     ，过这个圆外一点P（2，3）的该圆的切线方程是     ；

11. 难度：中等

在△ABC中，角A满足条件，则角A=    ，△ABC的面积为    ．

12. 难度：中等

若正四面体的四个顶点都在一个球面上，且正四面体的高为4，则该球的半径为     ，体积为     ．

13. 难度：中等

实数x，y满足不等式组则的范围    ．

14. 难度：中等

已知P是双曲线的右支上一点，A₁，A₂分别为双曲线的左、右顶点，F₁，F₂分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的离心率为e，有下列命题：
①双曲线的一条准线被它的两条渐近线所截得的线段长度为；
②若|PF₁|=e|PF₂|，则e的最大值为；
③△PF₁F₂的内切圆的圆心横坐标为a；
其中正确命题的序号是    ．

15. 难度：中等

已知A、B两点的坐标分别为
（Ⅰ）求||的表达式；
（Ⅱ）若（O为坐标原点），求tanx的值；
（Ⅲ）若，求函数f（x）的最小值．

16. 难度：中等

有红色和黑色两个盒子，红色盒中有6张卡片，其中一张标有数字0，两张标有数字1，三张标有数字2；黑色盒中有7张卡片，其中4张标有数字0，一张标有数字1，两张标有数字2．现从红色盒中任意取1张卡片（每张卡片被抽出的可能性相等），黑色盒中任意取2张卡片（每张卡片抽出的可能性相等），共取3张卡片．
（Ⅰ）求取出的3张卡片都标有数字0的概率；
（Ⅱ）求取出的3张卡片数字之积是4的概率；
（Ⅲ）记ξ为取出的3张卡片的数字之积，求ξ的概率分布及数学期望Eξ．

17. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AD=BC=2，对角线AC⊥BD于O，∠DAO=60°，且PO⊥平面ABCD，直线PA与底面ABCD所成的角为60°，M为PD上的一点．
（Ⅰ）证明：PD⊥AC；
（Ⅱ）求二面角A-PB-D的大小．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+alnx．
（Ⅰ）当a=-2时，求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若函数在[1，+∞）上是增函数，不等式在[1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

19. 难度：中等

已知点P_n（a_n，b_n）（n∈N^*）都在直线l：y=2x+2上，P₁为直线l与x轴的交点，数列{a_n}成等差数列，公差为1．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若问是否存在k∈N^*，使得f（k+5）=2f（k）-5成立？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由；
（Ⅲ）求证：（n≥2，n∈N*）．

20. 难度：中等

已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，且准线方程为直线l过M（1，0）与抛物线交于A，B两点，点P在y轴的右侧且满足（O为坐标原点）．
（Ⅰ）求抛物线的方程及动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）记动点P的轨迹为C，若曲线C的切线斜率为λ，满足，点A到y轴的距离为a，求a的取值范围．