2011年高三数学一轮精品复习学案：6.2 推理与证明（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下面说法正确的有（ ）
（1）演绎推理是由一般到特殊的推理；
（2）演绎推理得到的结论一定是正确的；
（3）演绎推理一般模式是“三段论”形式；
（4）演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形有关．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

2. 难度：中等

在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形（如图）．


试问三角形数的一般表达式为（ ）
A．n
B．n（n+1）
C．n²-1
D．n（n-1）

3. 难度：中等

命题：“有理数是分数，整数是有理数，则整数是分数”结论是错误的，其原因是（ ）
A．大前提错误
B．小前提错误
C．推理形式错误
D．以上都不是

4. 难度：中等

函数y=xcosx-sinx在下面哪个区间内是增函数（ ）
A．（，）
B．（π，2π）
C．（，）
D．（2π，3π）

5. 难度：中等

在y=2^x，y=log₂x，y=x²这三个函数中，当0＜x₁＜x₂＜1时，使恒成立的函数的个数是（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

6. 难度：中等

设a、b、m都是正整数，且a＜b，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

f（x）=x³+x，a，b，c∈R，且a+b＞0，a+c＞0，b+c＞0，则f（a）+f（b）+f（c）的值一定（ ）
A．大于零
B．等于零
C．小于零
D．正负都有可能

8. 难度：中等

设f（x）是定义在R上的函数且f（x）=，且f（3）=2+Ω，则f（2007）=（ ）
A．-2
B．+2
C．2-
D．-2-

9. 难度：中等

在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n（n-3）条时，第一步验证n等于（ ）
A．1
B．2
C．3
D．0

10. 难度：中等

用数学归纳法证明不等式“++…+＞（n＞2）”时的过程中，由n=k到n=k+1时，不等式的左边（ ）
A．增加了一项
B．增加了两项
C．增加了两项，又减少了一项
D．增加了一项，又减少了一项

11. 难度：中等

在用数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+n）=2ⁿ•1•2•3•…•（2n-1）（n∈N^*）时，从k到k+1，左端需要增加的代数式是（ ）
A．2k+1
B．2（2k+1）
C．
D．

12. 难度：中等

上一个n级台阶，若每步可上一级或两级，设上法总数为f（n），则下列猜想中正确的是（ ）
A．f（n）=n
B．f（n）=f（n-1）+f（n-2）
C．f（n）=f（n-1）•f（n-2）
D．f（n）=

二、解答题

13. 难度：中等

在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球，第2、3、4、…堆最底层（第一层）分别按下图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f（n）表示第n堆的乒乓球总数，则f（3）=    ；f（n）=    （答案用n表示）．

14. 难度：中等

从1=1，1-4=-（1+2），1-4+9=1+2+3，1-4+9-16=-（1+2+3+4），…，推广到第n个等式为    ．

15. 难度：中等

为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理如下图：

现在加密密钥为y=log_a（x+2），如下所示：明文“6”通过加密后得到密文“3”，再发送，接受方通过解密密钥解密得明文“6”，问“接受方接到密文”4“，则解密后得到明文为    ．

16. 难度：中等

有以下四个命题：
（1）2ⁿ＞2n+1（n≥3）；
（2）2+4+6+…+2n=n²+n+2（n≥1）；
（3）凸n边形内角和为f（n）=（n-1）π（n≥3）；
（4）凸n边形对角线条数f（n）=（n≥4）．
其中满足“假设n=k（k∈N，k≥n）．时命题成立，则当n=k+1时命题也成立．”但不满足“当n=n（n是题中给定的n的初始值）时命题成立”的命题序号是    ．

17. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=a（a≠0，且a≠1），其前n项和S_n=（1-a_n）
（1）求证：{a_n}为等比数列；
（2）记b_n=a_nlg|a_n|（n∈N^*），T_n为数列{b_n}的前n项和，那么：
①当a=2时，求T_n；
②当a=-时，是否存在正整数m，使得对于任意正整数n都有b_n≥b_m．如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由．

18. 难度：中等

设f（k）是满足不等式log₂x+log₂≥2k-1（k∈N*）的正整数x的个数．
（1）求f（k）的解析式；
（2）记S_n=f（1）+f（2）+…+f（n），P_n=n²+n-1（n∈N*）试比较S_n与P_n的大小．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=，
（1）f（0）+f（1），f（-1）+f（2），f（-2）+f（3）的值；
（2）归纳猜想一般性的结论，并证明之．

20. 难度：中等

请用类比推理完成下表：

21. 难度：中等

平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行．类似地，写出空间中的一个四棱锥为平行六面体的两个充要条件：
充要条件①：______；充要条件②：______．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=-x²+2x
（1）证明函数f（x）在（-∞，1]上是增函数；
（2）当x∈[-5，-2]时，f（x）是增函数还是减函数？

23. 难度：中等

用三段论的形式写出下列演绎推理．
（1）若两角是对顶角，则该两角相等，所以若两角不相等，则该两角不是对顶角；
（2）矩形的对角线相等，正方形的是矩形，所以正方形的对角线相等；
（3）是有理数；
（4）y=sinx（x∈R）是周期函数．

24. 难度：中等

已知x+y+z=1，求证．

25. 难度：中等

已知非零向量，且，求证：．

26. 难度：中等

已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y=ax²+2bx+c，y=bx²+2cx+a，y=cx²+2ax+b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．

27. 难度：中等

请先阅读：
在等式cos2x=2cos²x-1（x∈R）的两边求导，得：（cos2x）′=（2cos²x-1）′，由求导法则，得（-sin2x）•2=4cosx•（-sinx），化简得等式：sin2x=2cosx•sinx．
（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式（1+x）ⁿ=C_n+C_n¹x+C_n²x²+…+C_nⁿxⁿ（x∈R，正整数n≥2），证明：．
（2）对于正整数n≥3，求证：
（i）；
（ii）；
（iii）．

28. 难度：中等

用数学归纳法证明：（其中n∈N^*）．

29. 难度：中等

用数学归纳法证明aⁿ⁺¹+（a+1）^2n-1能被a²+a+1整除（n∈N^*）．

30. 难度：中等

平面内有n条直线，其中无任何两条平行，也无任何三条共点，求证：这n条直线把平面分割成（n²+n+2）块．

31. 难度：中等

平面内有n个圆，其中每两个圆都交于两点，且无三个圆交于一点，求证：这n个圆将平面分成n²+n+2个部分．

32. 难度：中等

设数列{a_n}满足a₁=0，a_n+1=ca_n³+1-c，n∈N^*，其中c为实数
（1）证明：a_n∈[0，1]对任意n∈N^*成立的充分必要条件是c∈[0，1]；
（2）设，证明：a_n≥1-（3c）^n-1，n∈N^*；
（3）设，证明：．

33. 难度：中等

如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱．
（I）证明FO∥平面CDE；
（II）设，证明EO⊥平面CDF．