2010年湖南省六校高考数学模拟试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若a∈R，则a=1是复数z=a²-1+（a+1）i是纯虚数的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

2. 难度：中等

用0.618法确定试点，则经过4次试验后，存优范围缩小为原来的（ ）
A．0.618
B．0.618³
C．0.618⁴
D．0.618⁵

3. 难度：中等

已知集合S={3，a}，T={x|x²-3x＜0，x∈Z}，S∩T={1}，P=S∪T，那么集合P的子集个数是（ ）
A．32
B．16
C．8
D．4

4. 难度：中等

如图，直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，正视图和俯视图如图所示，则其左视图的面积为（ ）

A．4
B．
C．2
D．2

5. 难度：中等

在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：EC=2：3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S_△DEF：S_△EBF：S_△ABF=（ ）

A．4：10：25
B．4：9：25
C．2：3：5
D．2：5：25

6. 难度：中等

已知，且关于x的函数在R上有极值，则的夹角范围为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

过定点P（1，2）的直线在x轴与y轴的正半轴上的截距分别为a、b，则4a²+b²的最小值为（ ）
A．8
B．32
C．45
D．72

8. 难度：中等

已知0＜a＜1，则方程a^|x|=|log_ax|的实根个数为n，且（x+1）ⁿ+（x+1）¹¹=a+a₁（x+2）+a₂（x+2）²+…+a₁₀（x+2）¹⁰+a₁₁（x+2）¹¹，则a₁=（ ）
A．9
B．-10
C．11
D．-12

二、解答题

9. 难度：中等

已知某正态分布的概率密度曲线f（x）=，x∈（-∞，+∞）的图象如图，则函数的解析式为f（x）=    ．

10. 难度：中等

已知某曲线的参数方程为为参数），若将极点与原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，则该曲线的极坐标方程是     ．

11. 难度：中等

设f（x）是定义在实数R上的以3为周期的奇函数，若，则实数a的取值范围是     ．

12. 难度：中等

已知命题P：“对∀x∈R，∃m∈R，使4^x-2^x+1+m=0”，若命题^┐P是假命题，则实数m的取值范围是     ．

13. 难度：中等

请阅读如图的算法流程图若  b=2cos²28°-1  c=2sin16°cos16°请问输出的结果应该是     （填abc中的一个）．

14. 难度：中等

在区间[-1，1]上任取两数a、b，则二次方程x²+ax+b=0的两根都是正数的概率是     ．

15. 难度：中等

一个计算装置有两个数据入口Ⅰ、Ⅱ和一个运算结果输出口Ⅲ，当Ⅰ、Ⅱ分别输入正整数m、n时，
输出结果记为f（m，n），且计算装置运算原理如下：
①若Ⅰ、Ⅱ分别输入1，则f（1，1）=1；
②若Ⅰ输入固定的正整数，Ⅱ输入的正整数增大1，则输出结果比原来增大3；
③若Ⅱ输入固定的正整数n，Ⅰ输入正整数增大1，则输出结果为原来值的3倍．
则f（m，1）=    ，满足f（m，n）=2010的平面上的点（m，n）的个数是    ．

16. 难度：中等

某工厂2010年第一季度生产的A、B、C、D四种型号的产品产量用条形图表示如图，现用分层抽样的方法从中选取50件样品参加四月份的一个展销会：
（1）问A、B、C、D型号的产品各抽取多少件？
（2）从50件样品随机的抽取2件，求这2件产品恰好是不同型号产品的概率；
（3）从A、C型号的产品中随机的抽取3件，用ξ表示抽取A种型号的产品件数，求ξ的分布列和数学期望．

17. 难度：中等

已知A、B、C是三角形ABC的三内角，且=（sinB-sinA，sinB-sinC），=（sinB+sinA，-sinC），并且•=0．
（1）求角A的大小．
（2），求f（B）的递增区间．

18. 难度：中等

在直角梯形PBCD中，∠D=∠C=，BC=CD=2，PD=4，A为PD的中点，如图1．将△PAB沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC，点E在SD上，且，如图2．
（1）求证：SA⊥平面ABCD；
（2）求二面角E-AC-D的正切值；
（3）在线段BC上是否存在点F，使SF∥平面EAC？若存在，确定F的位置，若不存在，请说明理由．

19. 难度：中等

为加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干年时间更换一万辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和混合动力型车，今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆；计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动车型车每年比上一年多投入a辆．
（1）求经过n年，该市被更换的公交车总数S（n）；
（2）若该市计划7年内完成全部更换，求a的最小值．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+bsinx-2，（b∈R），F（x）=f（x）+2，且对于任意实数x，恒有F（x-5）=F（5-x）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）已知函数g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在区间（0，1）上单调，求实数a的取值范围；
（3）函数有几个零点？

21. 难度：中等

设椭圆的左、右焦点分别为F₁与F₂，直线y=x-1过椭圆的一个焦点F₂且与椭圆交于P、Q两点，若△F₁PQ的周长为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C经过伸缩变换变成曲线C'，直线l：y=kx+m与曲线C'相切且与椭圆C交于不同的两点A、B，若，且，求△OAB面积的取值范围．（O为坐标原点）