2010年福建省高考数学一轮复习：14.3 平行关系（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知m、n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，下列命题中的真命题是    ．
①如果m⊂α，n⊂β，m∥n，那么α∥β
②如果m⊂α，n⊂β，α∥β，那么m∥n
③如果m⊂α，n⊂β，α∥β且m，n共面，那么m∥n
④如果m∥n，m⊥α，n⊥β，那么α⊥β

2. 难度：中等

已知m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面，给出下列命题：
①若m∥α，则m平行于α内的无数条直线；
②若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；
③若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；
④若α∥β，m⊂α，则m∥β；
⑤若α⊥β，α∩β=m，n经过α内的一点，n⊥m，则n⊥β．
上面命题中，真命题的序号是     （写出所有真命题的序号）．

3. 难度：中等

给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面α、β的四个命题：
①若m⊂α，l∩α=A，点A∉m，则l与m不共面；
②若m、l是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；
③若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m；
④若l⊂α，m⊂α，l∩m=点A，l∥β，m∥β，则α∥β．
其中为真命题的是    ．

4. 难度：中等

设m，n是平面α内的两条不同直线；l₁，l₂是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是    ．
①m∥β且l₁∥α ②m∥l₁且n∥l₂
③m∥β且n∥β  ④m∥β且n∥l₂

5. 难度：中等

直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有    条．

6. 难度：中等

已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是    ．
①若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β      ②若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β
③若m∥n，m∥α，则n∥α      ④若n⊥α，n⊥β，则α∥β

7. 难度：中等

已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列4个命题：
①若m∥n，n⊂α，则m∥α；
②若m⊥n，m⊥α，n⊄α，则n∥α；
③若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n；
④若m，n是异面直线，m⊂α，n⊂β，m∥β，则n∥α．其中正确的命题有    ．

8. 难度：中等

已知m，n是平面α外的两条直线，且m∥n，则“m∥α”是“n∥α”的    条件．

9. 难度：中等

设l₁，l₂是两条直线，α，β是两个平面，A为一点，下列命题中正确的命题是     ．
①若l₁⊂α，l₂∩α=A，则l₁与l₂必为异面直线；
②若α⊥β，l₁⊂α，则l₁⊥β；
③l₁⊂α，l₂⊂β，l₁∥β，l₂∥α，则α∥β；
④若l₁∥α，l₂∥l₁，则l₂∥α或l₂⊂α．

10. 难度：中等

若a不平行于平面α，且a⊄α，则下列结论成立的是    ．
①α内的所有直线与a异面；
②α内与a平行的直线不存在；
③α内存在唯一的直线与a平行；
④α内的直线与a都相交．

11. 难度：中等

设m、n是异面直线，则（1）一定存在平面α，使m⊂α且n∥α；（2）一定存在平面α，使m⊂α且n⊥α；（3）一定存在平面γ，使m、n到γ的距离相等；（4）一定存在无数对平面α与β，使m⊂α，n⊂β，且α∥β．上述4个命题中正确命题的序号为     ．

12. 难度：中等

如图所示，ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A₁B₁，B₁C₁的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP=，过P、M、N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ=    ．

13. 难度：中等

下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是    （写出所有符合要求的图形序号）．

14. 难度：中等

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G、H分别是棱CC₁、C₁D₁、D₁D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH上及其内部运动，则M满足条件     时，有MN∥平面B₁BDD₁．

15. 难度：中等

设b、c表示两条直线，α，β表示两个平面，则下列命题是真命题的是    ．
①若b⊂α，c∥α，则b∥c ②若b⊂α，b∥c，则c∥α
③若c∥α，α⊥β，则c⊥β  ④若c∥α，c⊥β，则α⊥β

16. 难度：中等

已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，下面有三个命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β．则真命题的个数为     ．

17. 难度：中等

已知α、β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的    条件．

18. 难度：中等

如图，在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点，现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC，在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足，设AK=t，则t的取值范围是    ．

19. 难度：中等

已知a、b为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中假命题的有     ．
①若a∥b，则α∥β；②若α⊥β，则a⊥b；③若a、b相交，则α、β相交；④若α、β相交，则a，b相交．

20. 难度：中等

设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是    ．
①a⊥α，b∥β，α⊥β  ②a⊥α，b⊥β，α∥β
③a⊂α，b⊥β，α∥β  ④a⊂α，b∥β，α⊥β

21. 难度：中等

设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是     ．
①若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β
②若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α
③若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β
④若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥α

22. 难度：中等

设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是    ．
①m⊥α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥β  ②α∥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n
③α⊥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n  ④α⊥β，α∩β=m，n⊥m⇒n⊥β

23. 难度：中等

已知两条不同的直线m，n，两个不同的平面α，β，则下列命题中正确的是    ．
①若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n
②若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n
③若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n
④若m∥α，n⊥β，α⊥β，则m∥n．

24. 难度：中等

设a，b，c表示三条直线，α，β表示两个平面，则下列命题的逆命题不成立的是    ．
①c⊥α，若c⊥β，则α∥β
②b⊂β，c是a在β内的射影，若b⊥c，则a⊥b
③b⊂β，若b⊥α，则β⊥α
④b⊂α，c⊄α，若c∥α，则b∥c

25. 难度：中等

已知二面角α-l-β的大小为30°，m、n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则m、n所成的角为    ．

26. 难度：中等

如图所示，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，BC₁⊥AC，则C₁在底面ABC上的射影H必在直线    上．

27. 难度：中等

在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P在AD上运动，设∠ABP=θ，将△ABP沿BP折起，使得平面ABP垂直于平面BPDC，AC长最小时θ的值为    ．

28. 难度：中等

在正四棱锥P-ABCD中，PA=AB，M是BC的中点，G是△PAD的重心，则在平面PAD中经过G点且与直线PM垂直的直线有    条．

29. 难度：中等

如图，在三棱锥S-ABC中，OA=OB，O为BC中点，SO⊥平面ABC，E为SC中点，F为AB中点．
（1）求证：OE∥平面SAB；
（2）求证：平面SOF⊥平面SAB．

30. 难度：中等

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB=2BC，E，F，E₁分别是棱AA₁，BB₁，A₁B₁的中点．
（1）求证：CE∥平面C₁E₁F；
（2）求证：平面C₁E₁F⊥平面CEF．

31. 难度：中等

如图，已知空间四边形ABCD中，BC=AC，AD=BD，E是AB的中点．
求证：
（1）AB⊥平面CDE；
（2）平面CDE⊥平面ABC；
（3）若G为△ADC的重心，试在线段AE上确定一点F，使得GF∥平面CDE．

32. 难度：中等

如图，ABCD为直角梯形，∠C=∠CDA=90°，AD=2BC=2CD，P为平面ABCD外一点，且PB⊥BD．
（1）求证：PA⊥BD；
（2）若PC与CD不垂直，求证：PA≠PD；
（3）若直线l过点P，且直线l∥直线BC，试在直线l上找一点E，使得直线PC∥平面EBD．

33. 难度：中等

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=，AB=1，AD=2，E为BC的中点，点M为棱AA₁的中点．
（1）证明：DE⊥平面A₁AE；
（2）证明：BM∥平面A₁ED．

34. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分别是AB，BC的中点．
（1）求证：平面B₁MN⊥平面BB₁D₁D；
（2）若在棱DD₁上有一点P，使BD₁∥平面PMN，求线段DP与PD₁的比．

35. 难度：中等

如图所示，四边形ABCD为矩形，BC⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（1）设点M为线段AB的中点，点N为线段CE的中点．求证：MN∥平面DAE；
（2）求证：AE⊥BE．

36. 难度：中等

如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA₁=2，E，E₁分别是棱AD，AA₁的中点．
（1）设F是棱AB的中点，证明：直线EE₁∥平面FCC₁；
（2）证明：平面D₁AC⊥平面BB₁C₁C．