2011年江苏省泰州市泰兴市重点中学高三第一次检测数学试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

函数y=lg（x²-2x）的定义域是     ．

2. 难度：中等

已知函数f（x）=log_a（x+1）的定义域和值域都是[0，1]，则实数a的值是    ．

3. 难度：中等

函数y=|x-a|的图象关于直线x=3对称．则a=    ．

4. 难度：中等

集合用列举法可表示为A=    ．

5. 难度：中等

设M={a，b}，则满足M∪N⊆{a，b，c}的非空集合N的个数为     ．

6. 难度：中等

函数的值域是    ．

7. 难度：中等

设f（x）是定义在实数R上的以3为周期的奇函数，若，则实数a的取值范围是     ．

8. 难度：中等

已知f（x）=lg（-x²+8x-7）在（m，m+1）上是增函数，则m的取值范围是     ．

9. 难度：中等

若函数的定义域为R，则实数a的取值范围是    ．

10. 难度：中等

函数f（x）=-x²+4x-1在[t，t+1]上的最大值为g（t），则g（t）的最大值为     ．

11. 难度：中等

设f（x）是定义在（-1，1）上的偶函数在（0，1）上增，若f（a-2）-f（4-a²）＜0，则a的取值范围为     ．

12. 难度：中等

若的最大值为m，且f（x）为偶函数，则m+u=    ．

13. 难度：中等

已知f（x）=log₃x+2（x∈[1，9]），则函数y=[f（x）]²+f（x²）的最大值是    ．

14. 难度：中等

某商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过500元，不享受任何折扣，如果顾客购物总金额超过500元，则超过500元部分享受一定的折扣优惠，按下表折扣分别累计计算：

可以享受折扣优惠金额	折扣率
不超过200元的部分	5%
超过200元的部分	10%

某人在此商场购物获得的折扣金额为35元，则他购物实际所付金额为    元．

15. 难度：中等

A=，B={y|y=x²+x+1，x∈R}
（1）求A，B；
（2）求A∪B，A∩C_RB．

16. 难度：中等

已知函数（a≠0）是奇函数，并且函数f（x）的图象经过点（1，3），
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数f（x）的值域

17. 难度：中等

已知：在函数的图象上，f（x）=mx³-x以N（1，n）为切点的切线的倾斜角为
（I）求m，n的值；
（II）是否存在最小的正整数k，使得不等式f（x）≤k-1993对于x∈[-1，3]恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k，如果不存在，请说明理由．

18. 难度：中等

设二次函数f（x）=ax²+bx+c在区间[-2，2]上的最大值、最小值分别是M、m，集合A={x|f（x）=x}．
（1）若A={1，2}，且f（0）=2，求M和m的值；
（2）若A={1}，且a≥1，记g（a）=M+m，求g（a）的最小值．

19. 难度：中等

如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在AB的延长线上，N在AD的延长线上，且对角线MN过C点．已知AB=3米，AD=2米．
（I）设AN=x（单位：米），要使花坛AMPN的面积大于32平方米，求x的取值范围；
（Ⅱ）若x∈[3，4）（单位：米），则当AM，AN的长度分别是多少时，花坛AMPN的面积最大？并求出最大面积．

20. 难度：中等

已知函数，．
（1）当b=0时，若f（x）在（-∞，2]上单调递减，求a的取值范围；
（2）求满足下列条件的所有整数对（a，b）：存在x，使得f（x）是f（x）的最大值，g（x）是g（x）的最小值；
（3）对满足（II）中的条件的整数对（a，b），试构造一个定义在D=x|x∈R且x≠2k，k∈Z上的函数h（x），使h（x+2）=h（x），且当x∈（-2，0）时，h（x）=f（x）．

21. 难度：中等

设n为大于1的自然数，求证：．

22. 难度：中等

已知E，F分别是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱BC和CD的中点，求：
（1）A₁D与EF所成角的大小；
（2）A₁F与平面B₁EB所成角；
（3）二面角C-D₁B₁-B的大小．

23. 难度：中等

把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线．
（1）（t为参数）；
（2）（t为参数）．

24. 难度：中等

一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：f₁（x）=x，f₂（x）=x²，f₃（x）=x³，f₄（x）=sinx，f₅（x）=cosx，f₆（x）=2．
（1）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；
（2）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望．