2011年山东省潍坊市高三摸底数学试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

（x-y）¹⁰的展开式中，x⁷y³的系数与x³y⁷的系数之和等于     ．

2. 难度：中等

曲线y=x³与直线y=4x在第一象限所围成的图形的面积是     ．

3. 难度：中等

如图，平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁，若ABCD是边长为2的正方形，AA₁=1，∠A₁AD=∠A₁AB=60°，则BD₁的长为    ．

4. 难度：中等

下列不等式
①已知a＞0，b＞0，则（a+b）；
②a²+b²+3＞2a+2b；
③已知m＞0，则；
④．
其中恒成立的是     ．（把所有成立不等式的序号都填上）

5. 难度：中等

已知集合P={x|2x²-3x+1≤0}，Q={x|（x-a）（x-a-1）≤0}．
（1）若a=1，求P∩Q；
（2）若x∈P是x∈Q的充分条件，求实数a的取值范围．

6. 难度：中等

已知等差数列{a_n}是递增数列，且满足a₄•a₇=15，a₃+a₈=8．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令，求数列{b_n}的前n项和S_n．

7. 难度：中等

已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，AB=PA=2，E、F分别为BC、PD的中点．
（1）求证：PB∥平面AFC；
（2）求平面PAE与平面PCD所成锐二面角的余弦值．

8. 难度：中等

某同学参加3门课程的考试，假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为．第二、第三门课程取得优秀成绩的概率均为，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．
（1）求该生恰有1门课程取得优秀成绩的概率；
（2）求该生取得优秀成绩的课程门数X的期望．

9. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中有两定点，，若动点M满足，设动点M的轨迹为C．
（1）求曲线C的方程；
（2）设直线l：y=kx+t交曲线C于A、B两点，交直线l₁：y=k₁x于点D，若k•k₁=-4，证明：D为AB的中点．

10. 难度：中等

已知曲线f（x）=ln（2-x）+ax在点（0，f（0））处的切线斜率为．
（1）求f（x）的极值；
（2）设g（x）=f（x）+kx，若g（x）在（-∞，1）上是增函数，求实数k的取值范围；
（3）若数列{a_n}满足a₁∈（0，1），a_n+1=f（a_n），求证：对一切n∈N^*，0＜a_n＜1．

二、选择题

11. 难度：中等

命题p：∃x∈R，x²-5x-6＜0，则（ ）
A．¬p：∃x∈R，x²-5x+6≥0
B．¬p：∀x∈R，x²-5x+6＜0
C．¬p：∀x∈R，x²-5x+6＞0
D．¬p：∀x∈R，x²-5x+6≥0

12. 难度：中等

复数的共轭复数是（ ）
A．
B．
C．1-i
D．1+i

13. 难度：中等

命题“若¬p，则q”是真命题，则下列命题一定是真命题的是（ ）
A．若p，则q
B．若p，则┐q
C．若┐q，则p
D．若┐q，则┐p

14. 难度：中等

若a＞b＞0，则（ ）
A．a²c＞b²c（c∈R）
B．
C．lg（a-b）＞0
D．

15. 难度：中等

在△ABC中，若a²=b²+bc+c²，则A=（ ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°

16. 难度：中等

设a＞0，b＞0，若lga和lgb的等差中项是0，则的最小值是（ ）
A．1
B．2
C．4
D．

17. 难度：中等

设双曲线的-个焦点为F；虚轴的-个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

18. 难度：中等

设变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（ ）
A．-2
B．4
C．6
D．8

19. 难度：中等

某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了500名电视观众，相关的数据如下表所示：

下列说法最准确的是（ ）
A．有99%的把握认为收看不同节目类型的观众与年龄有关
B．有95%的把握认为收看不同节目类型的观众与年龄有关
C．有99%的把握认为收看不同节目类型的观众与年龄无关
D．有95%的把握认为收看不同节目类型的观众与年龄无关

20. 难度：中等

已知过抛物线y²=x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，|AF|=，则|BF|=（ ）
A．
B．1
C．
D．

21. 难度：中等

2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ）
A．36种
B．12种
C．18种
D．48种

22. 难度：中等

为了考察某种大麦穗长的分布情况，在一块试验地里抽取了100个穗，量得它们的长度（单位：cm）之后，将所得数据以0.3cm为组距，分成如下12个组：3.95～4.25，4.25～4.55，4.55～4.85，…，6.95～7.25，7.25～7.55，通过分析计算，最后画出的频数分布直方图如图，由图可知（ ）

A．长度在5.45～5.75cm范围内的麦穗所占的比例最大
B．长度在5.15～5.45cm范围内的麦穗所点的比例大于25%
C．长度在5.75～6.05cm范围内的麦穗所占的比例最大
D．长度在5.45～5.75cm范围内的麦穗比长度在6.35～6.65cm范围内的麦穗少