2011年湖南省岳阳市高三质量检测数学试卷（一）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数（1-i）²=（ ）
A．2-2i
B．2+2i
C．-2i
D．2i

2. 难度：中等

函数y=log₂（x²-1）的定义域是（ ）
A．（1，+∞）
B．（-∞，-1）
C．（-1，1）
D．（-∞，-1）∪（1，+∞）

3. 难度：中等

若集合A={-1，m²}，B={2，9}，则“m=3”是“A∩B={9}”的（ ）条件．
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要

4. 难度：中等

若要（x-1）²+（y+2）²=4上恰有两个点到直线2x+y+m=0的距离等于1，则m的一个可能值是（ ）
A．3
B．
C．2
D．

5. 难度：中等

已知向量=（3，4），=（-6，-8），则向量与（ ）
A．互相垂直
B．夹角为60°
C．夹角为30°
D．是共线向量

6. 难度：中等

若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．6

7. 难度：中等

已知等比数列{a_n}中，a₁+a₃=30，前4项和为120，若b_n=1+log₃a_n，则b₂₀₁₀=（ ）
A．2009
B．2010
C．2011
D．2012

8. 难度：中等

设x，y满足约束条件，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

9. 难度：中等

如图是2008年北京奥运会上，七位评委为某奥运项目打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为    ；方差为    ．

10. 难度：中等

双曲线C：x²-y²=1的离心率e=    ．

11. 难度：中等

在三角形ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，如果c=，∠B=30°，那么∠C=    ．

12. 难度：中等

函数y=（x＞0）的值域为    ．

13. 难度：中等

在如下程序框图中，已知：f（x）=xe^x，则输出的是    ．

14. 难度：中等

等比数列{b_n}中，若3S₄=S₅+2S₃，则公比q=    ．

15. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）的图象关于点或中心对称，对任意的实数x均有且f（-1）=1，f（0）=-2，则f（1）+f（2）+…+f（2009）的值为     ．

16. 难度：中等

已知在三角形ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若a²+b²-c²=-ab，且向量=（b，-a）与=（cosA，cosB）互相垂直．
（1） 求角A，B，C的大小；
（2）若函数f（x）=sin（2x+A）+cos（2x-），求函数f（x）的单调递增区间．

17. 难度：中等

如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为DD₁，DB的中点
（1）求证：EF∥平面ABC₁D₁； 
（2）求二面角B₁-EF-C的大小．

18. 难度：中等

热力公司为某生活小区铺设暖气管道，为减少热量损耗，管道外表需要覆盖保温层，经测算要覆盖可使用20年的保温层，每厘米厚的保温层材料成本为2万元，小区每年的热量损耗费用w（单位：万元）与保温层厚度x（单位：cm）满足关系：w（x）=（0≤x≤10）．若不加保温层，每年热量损耗费用5万元，设保温层费用与20年的热量损耗费用之和为f（x）．
（1）求k的值及f（x）的表达式；
（2）问保温层多厚时，总费用f（x）最小，并求最小值．

19. 难度：中等

在直角坐标系中，O为坐标原点，已知动圆与直线x=-1相切，且过定点F（1，0），动圆圆心为M．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）若过点F（1，0）的直线L与曲线C交于A，B两点，又点Q（-1，0），求△（3）QAB面积的最小值．

20. 难度：中等

在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，…，这些数叫做三角形数，其通项为，前n项和为，如下图所示，有一列三角形数表，其位于三角形的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别依次成等差数列，依次记各三角形数表中的所有数之和为a_n，则．
（1）求a₃，a₄，并写出a_n的表达式；
（2）令b_n=，证明2n＜b₁+b₂+b₃+…+b_n＜2n+2（n∈N^*）．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-alnx在（1，2）上是递增函数，g（x）=x-在（0，1）上为减函数．
（1）求f（x），g（x）的表达式；
（2）求证：当x＞0时，方程f（x）=g（x）+2有唯一解；
（3）当b＞-1时，若f（x）在x∈（0，1）内恒成立，求b的取值范围．