2010-2011学年湖南省十二校高三第一次联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若复数（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则a的值为（ ）
A．-2
B．
C．-
D．2

2. 难度：中等

“a=-1”是“直线a²x-y+6=0与直线4x-（a-3）y+9=0互相垂直”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80mg/100ml（不含80）之间，属于酒后驾车，处暂扣一个月以上三个月以下驾驶证，并处200元以上500元以下罚款；血液酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和暂扣三个月以上六个月以下驾驶证，并处500元以上2000元以下罚款．据《法制晚报》报道，2009年8月15日至8月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如图是对这28800人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为（ ）

A．2160
B．2880
C．4320
D．8640

4. 难度：中等

如果执行右面的程序框图，输入n=6，m=4，那么输出的p等于（ ）
A．720
B．360
C．240
D．120

5. 难度：中等

已知{a_n}满足a₁=a₂=1，=1，则a₆-a₅的值为（ ）
A．0
B．18
C．96
D．600

6. 难度：中等

设双曲线M：-y²=1，点C（0，1），若直线（t为参数）交双曲线的两渐近线于点A、B，且=2，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知a=∫^π（sint-cost）dt，则（x-）⁶的展开式中的常数项为（ ）
A．20
B．-20
C．
D．-

8. 难度：中等

设点P是△ABC内一点（不包括边界），且=m+n（m，n∈R），则（m+1）²+（n-1）²的取值范围是
（ ）
A．（0，2）
B．（0，5）
C．（1，2）
D．（1，5）

二、解答题

9. 难度：中等

在电影拍摄爆炸场面的过程中，为达到逼真的效果，在火药的添加物中需对某种化学药品的加入量进行反复试验，根据经验，试验效果是该化学药品加入量的单峰函数．为确定一个最好的效果，拟用分数法从33个试验点中找出最佳点，则需要做的试验次数至多是    ．

10. 难度：中等

某地为上海“世博会”招募了20名志愿者，他们的编号分别是1号、2号、…19号、20号．若要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个编号较大的在另一组．那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取种数是    ．

11. 难度：中等

如图，AC是⊙O的直径，B是圆上一点，∠ABC的平分线与⊙O相交于D，已知BC=1，AB=，则AD=   

12. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形．则用    个这样的几何体可以拼成一个棱长为4的正方体．

13. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，设D是由不等式组表示的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向E中随机投一点，则所投点落在D中的概率是    ．

14. 难度：中等

已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）+f（x）=0，当x∈[0，1]时，f（x）=2^x-1，则f（125）=    ．

15. 难度：中等

已知函数f（x）=（x²-x-）e^ax（a≠0）．
（1）曲线y=f（x）在点A（0，f（0））处的切线方程为   
（2）当a＞0时，若不等式f（x）+≥0对x∈[-，+∞）恒成立，则实数a的取值范围为    ．

16. 难度：中等

设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且．
（1）求角A的大小；
（2）若角，BC边上的中线AM的长为，求△ABC的面积．

17. 难度：中等

2011年1月，某校就如何落实“湖南省教育厅《关于停止普通高中学校组织三年级学生节假日补课的通知》”，举办了一次座谈会，共邀请50名代表参加，他们分别是家长20人，学生15人，教师15人．
（1）从这50名代表中随机选出2名首先发言，问这2人是教师的概率是多少？
（2）从这50名代表中随机选出3名谈假期安排，若选出3名代表是学生或家长，求恰有1人是家长的概率是多少？
（3）若随机选出的2名代表是学生或家长，求其中是家长的人数为ξ的分布列和数学期望．

18. 难度：中等

如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，AA₁=AB=AC=1，AB⊥AC，M、N分别是
CC₁、BC的中点，点P在A₁B₁上，且满足=λ（λ∈R）．
（1）证明：PN⊥AM；
（2）当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大？并求该最大角的正切值；
（3）若平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，试确定点P的位置．

19. 难度：中等

随着国家政策对节能环保型小排量车的调整，两款1.1升排量的Q型车、R型车的销量引起市场的关注．已知2010年1月Q型车的销量为a辆，通过分析预测，若以2010年1月为第1月，其后两年内Q型车每月的销量都将以1%的比率增长，而R型车前n个月的销售总量T_n大致满足关系式：T_n=228a（1.01²ⁿ-1）（n≤24，n∈N^*）．
（1）求Q型车前n个月的销售总量S_n的表达式；
（2）比较两款车前n个月的销售总量S_n与T_n的大小关系；
（3）试问从第几个月开始Q型车的月销售量小于R型车月销售量的20%，并说明理由．
（参考数据：≈1.09，≈8.66）

20. 难度：中等

已知双曲线G的中心在原点，它的渐近线与圆x²+y²-10x+20=0相切．过点P（-4，0）作斜率为的直线l，使得l和G交于A，B两点，和y轴交于点C，并且点P在线段AB上，又满足|PA|•|PB|=|PC|²．
（1）求双曲线G的渐近线的方程；
（2）求双曲线G的方程；
（3）椭圆S的中心在原点，它的短轴是G的实轴．如果S中垂直于l的平行弦的中点的轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分，求椭圆S的方程．

21. 难度：中等

已知常数a为正实数，曲线C_n：y=在其上一点P_n（x_n，y_n）的切线l_n总经过定点（-a，0）（n∈N^*）．
（1）求证：点列：P₁，P₂，…，P_n在同一直线上；
（2）求证：（n∈N^*）．