2010年新教材高考数学模拟题详解精编试卷（8）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设、、是任意的非零平面向量，且相互不共线，则（ ）
①-=0；
②||-||＜|-|；
③-不与垂直；
④（3+2）•（3-2）=9||²-4||²．
其中的真命题是（ ）
A．②④
B．③④
C．②③
D．①②

2. 难度：中等

若直线mx-ny=4与⊙O：x²+y²=4没有交点，则过点P（m，n）的直线与椭圆的交点个数是（ ）
A．至多为1
B．2
C．1
D．0

3. 难度：中等

将正方形ABCD沿对角线BD折成一个120°的二面角，点C到达点C₁，这时异面直线AD与BC₁所成的角的余弦值是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

现用铁丝做一个面积为2平方米、形状为扇形的框架，有下列四种长度的铁丝各一根供选择，其中最合理（即够用，浪费最少）的一根是（ ）
A．5米
B．5.5米
C．6米
D．6.5米

5. 难度：中等

在△ABC中，=5，=3，=6，则=（ ）
A．13
B．26
C．
D．24

6. 难度：中等

一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积与半球的体积恰好相等，则圆锥轴截面顶角的余弦值是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知双曲线的离心率，2]．双曲线的两条渐近线构成的角中，以实轴为角平分线的角记为θ，则θ的取值范围是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，π]

8. 难度：中等

已知函数y=2sin（ωx+θ）为偶函数（0＜θ＜π），其图象与直线y=2的某两个交点横坐标为x₁，x₂，|x₂-x₁|的最小值为π，则（ ）
A．ω=2，
B．，
C．，
D．ω=1，

9. 难度：中等

过抛物线y²=4x的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8

10. 难度：中等

一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角是（ ）
A．arccos
B．arcsin
C．arccos
D．arcsin

11. 难度：中等

一个直角三角形的三内角的正弦成等比数列，则公比的平方为（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

关于不等式|x+log_ax|＜|x|+|log_ax|（a＞1）的解集为（ ）
A．0＜x＜a
B．0＜x＜1
C．x＜a
D．x＞1

13. 难度：中等

有一组数据共50个，分布若干组，在它的频数分布表中，有一组频率为0.4，则这一组的频数是（ ）
A．10
B．15
C．20
D．25

二、解答题

14. 难度：中等

f（x）是定义在实数有R上的奇函数，若x≥0时，f（x）=log₃（1+x），则f（-2）=    ．

15. 难度：中等

若点P（cosα，sinα）在直线y=-2x上，则sin2α+2cos2α=    ．

16. 难度：中等

用一个与正方体的各面都不平行的平面去截正方体，截得的截面是四边形的图形可能是下列选项中的     （把所有符合条件的图形序号填入）．①矩形②直角梯形③菱形④正方形

17. 难度：中等

某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心F为焦点的椭圆，测得近地点A距离地面m（km），远地点B距离地面n（km），地球半径为R（km），关于这个椭圆有以下四种说法：
①焦距长为n-m；②短轴长为；③离心率；④若以AB方向为x轴正方向，F为坐标原点，则与F对应的准线方程为，其中正确的序号为    ．

18. 难度：中等

某厂规定，如果工人在第一季度里有1个月完成产生任务，可得奖金90元；如果有2个月完成任务，可得奖金210元；如果有3个月完成任务，可得奖金330元；如果三个月都未完成任务，则没有奖金．假设某工人每个月完成任务与否是等可能的，求此工人在第一季度里所得奖金的期望．

19. 难度：中等

无穷数列{a_n}的前n项和S_n=npa_n（n∈N^*），并且a₁≠a₂．
（1）求p的值；
（2）求{a_n}的通项公式；
（3）作函数f（x）=a₂x+a₃x²+…+a_n+1xⁿ，如果S₁₀=45，证明：．

20. 难度：中等

（甲）如图，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面A₁C⊥底面ABC，∠ABC=90°，BC=2，AC=，又AA₁⊥A₁C，AA₁=A₁C．
（1）求侧棱A₁A与底面ABC所成的角的大小；
（2）求侧面A₁B与底面所成二面角的大小；
（3）求点C到侧面A₁B的距离．
（乙）在棱长为a的正方体OABC-O'A'B'C'中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE=BF．
（1）求证：A'F⊥C'E；
（2）当三棱锥B'-BEF的体积取得最大值时，求二面角B'-EF-B的大小（结果用反三角函数表示）．

21. 难度：中等

在抛物线y²=4x上恒有两点关于直线y=kx+3对称，求k的取值范围．

22. 难度：中等

某地区预计明年从年初开始的前x个月内，对某种商品的需求总量f（x）（万件）与月份x的近似关系为：
f（x）=x（x+1）（35-2x）（x∈N*，且x≤12）．
（1）写出明年第x个月的需求量g（x）（万件）与月x的函数关系，并求出哪个月份的需求量最大，最大需求量是多少？
（2）如果将该商品每月都投放市场p万件（销售未完的商品都可以在以后各月销售），要保证每月都足量供应，问：p至少为多少万件？

23. 难度：中等

设函数是单调减函数，值域为[1+log_a（n-1），1+log_a（m-1）]．
（1）求实数a的取值范围；
（2）求证：2＜m＜4＜n；
（3）若函数的最大值为A，求证：0＜A＜1．