2011年上海市闸北区高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

=    ．

2. 难度：中等

已知两条不同的直线m、n和平面α．给出下面三个命题：
①m⊥α，n⊥α⇒m∥n；②m∥α，n∥α⇒m∥n；③m∥α，n⊥α⇒m⊥n．
其中真命题的序号有    ．（写出你认为所有真命题的序号）

3. 难度：中等

若复数z满足：，，（i为虚数单位），则|z²|=    ．

4. 难度：中等

设函数与函数g（x）的图象关于直线y=x对称，则当x＞0时，g（x）=    ．

5. 难度：中等

如图，矩形ABCD由两个正方形拼成，则∠CAE的正切值为    ．

6. 难度：中等

在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段CD的中点，若，，则=    ．（用、表示）

7. 难度：中等

现剪切一块边长为4的正方形铁板，制作成一个母线长为4的圆锥V的侧面，那么，当剪切掉作废的铁板面积最小时，圆锥V的体积为    ．

8. 难度：中等

某班级在5人中选4人参加4×100米接力．如果第一棒只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒只能从甲、乙两人中产生，则不同的安排棒次方案共有    种．（用数字作答）．

9. 难度：中等

若不等式ax²+bx+c＞0的解集为{x|-1＜x＜2}，则不等式的解集为    ．

10. 难度：中等

设常数a∈R，以方程|x+a|•2^x=2011的根的可能个数为元素的集合A=    ．

二、选择题

11. 难度：中等

我们称侧棱都相等的棱锥为等腰棱锥．设命题甲：“四棱锥P-ABCD是等腰棱锥”；命题乙：“四棱锥P-ABCD的底面是长方形，且底面中心与顶点的连线垂直于底面”．那么，甲是乙的（ ）
A．充分必要条件
B．充分非必要条件
C．必要非充分条件
D．既非充分又非必要条件

12. 难度：中等

函数y=arccos（sinx）的值域是（ ）
A．
B．
C．
D．

13. 难度：中等

某人从2010年9月1日起，每年这一天到银行存款一年定期1万元，且每年到期的存款将本和利再存入新一年的一年定期，若一年定期存款利率2.50%保持不变，到2015年9月1日将所有的存款和利息全部取出，他可取回的钱数约为（ ）
A．11314元
B．53877元
C．11597元
D．63877元

三、解答题

14. 难度：中等

已知在平面直角坐标系xOy中，△AOB三个顶点的直角坐标分别为A（4，3），O（0，0），B（b，0）．
（1）若b=5，求cos2A的值；
（2）若△AOB为锐角三角形，求b的取值范围．

15. 难度：中等

如图，在直角梯形ABCD中，∠B=∠C=90°，，，BC=1．将ABCD（及其内部）绕AB所在的直线旋转一周，形成一个几何体．
（1）求该几何体的体积V；
（2）设直角梯形ABCD绕底边AB所在的直线旋转角θ（∠CBC′=θ∈（0，π））至ABC′D′，问：是否存在θ，使得AD′⊥DC′．若存在，求角θ的值，若不存在，请说明理由．

16. 难度：中等

据测算：2011年，某企业如果不搞促销活动，那么某一种产品的销售量只能是1万件；如果搞促销活动，那么该产品销售量（亦即该产品的年产量）m万件与年促销费用x万元（x≥0）满足（k为常数）．已知2011年生产该产品的前期投入需要8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，企业将每件该产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（定价不考虑促销成本）．
（1）若2011年该产品的销售量不少于2万件，则该产品年促销费用最少是多少？
（2）试将2011年该产品的年利润y（万元）表示为年促销费用x（万元）的函数，并求2011年的最大利润．

17. 难度：中等

设f（x）为定义域为R的函数，对任意x∈R，都满足：f（x+1）=f（x-1），f（1-x）=f（1+x），且当x∈[0，1]时，f（x）=3^x-3^-x．
（1）请指出f（x）在区间[-1，1]上的奇偶性、单调区间、最大（小）值和零点，并运用相关定义证明你关于单调区间的结论；
（2）试证明f（x）是周期函数，并求其在区间[2k-1，2k]（k∈Z）上的解析式．

18. 难度：中等

已知数列{a_n}和{b_n}满足：对于任何n∈N^*，有a_n=b_n+1-b_n，b_n+2=（1+λ）b_n+1-λb_n（λ为非零常数），且b₁=1，b₂=2．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）若b₃是b₆与b₉的等差中项，试求λ的值，并研究：对任意的n∈N^*，b_n是否一定能是数列{b_n}中某两项（不同于b_n）的等差中项，并证明你的结论．