2011年江苏省南京市高考数学一模试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

函数y=的定义域是    ．

2. 难度：中等

已知复数z满足（z-2）i=1+i（i为虚数单位），则z的模为    ．

3. 难度：中等

已知实数x，y满足，则z=2x+y的最小值是    ．

4. 难度：中等

如图所示的流程图，若输入的x=-9.5，则输出的结果为    ．

5. 难度：中等

在集合A={2，3}中随机取一个元素m，在集合B={1，2，3}中随机取一个元素n，得到点P（m，n），则点P在圆
x²+y²=9内部的概率为    ．

6. 难度：中等

已知平面向量满足||=1，||=2，与的夹角为，以为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为    ．

7. 难度：中等

为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员在6场比赛中的得分，用茎叶图表示如图所示，则该组数据的方差为    ．

8. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若1+=，则角A的大小为    ．

9. 难度：中等

已知双曲线C：-=1（a＞0，b＜0）的右顶点、右焦点分别为A、F，它的左准线与x轴的交点为B，若A是线段BF的中点，则双曲线C的离心率为    ．

10. 难度：中等

已知正数数列{a_n}对任意p，q∈N*，都有a_p+q=a_p•a_q，若a₂=4，则a₉=    ．

11. 难度：中等

已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题：
①若l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β，则α∥β；  ②若l⊂α，l∥β，α∩β=m，则l∥m；
③若α∥β，l∥α，则l∥β；    ④若l⊥α，m∥l，α∥β，则m⊥β．
其中真命题是    （写出所有真命题的序号）．

12. 难度：中等

已知f（x）=log₂（x-2），若实数m，n满足f（m）+f（2n）=3，则m+n的最小值是    ．

13. 难度：中等

在△ABC中，已知BC=2，=1，则△ABC面积的最大值是    ．

14. 难度：中等

若直角坐标平面内两点P、Q满足条件：①P、Q都在函数f（x）的图象上；②P、Q关于原点对称，则对称点（P，Q）是函数f（x）的一个“友好点对”（点对（P，Q）与（Q，P）看作同一个“友好点对”）．已知函数则f（x）的“友好点对”有    个．

15. 难度：中等

已知函数f（x）2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为π，且f（）=．
（1）求ω，φ的值；
（2）若f（）=-（0＜α＜π），求cos2α的值．

16. 难度：中等

如图，在棱长均为4的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D、D₁分别是BC和B₁C₁的中点．
（1）求证：A₁D₁∥平面AB₁D；
（2）若平面ABC⊥平面BCC₁B₁，∠B₁BC=60°，求三棱锥B₁-ABC的体积．

17. 难度：中等

如图，在半径为30cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上．
（1）怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积；
（2）若将所截得的矩形铝皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），应怎样截取，才能使做出的圆柱形形罐子体积最大？并求最大面积．

18. 难度：中等

在直角坐标系xOy中，中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C上的点（2，1）到两焦点的距离之和为4．
（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点F作直线l与椭圆C分别交于A、B两点，其中点A在x轴下方，且=3．求过O、A、B三点的圆的方程．

19. 难度：中等

将数列{a_n}中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：
a₁
a₂a₃a₄
a₅a₆a₇a₈a₉
…
已知表中的第一列数a₁，a₂，a₅，…构成一个等差数列，记为{b_n}，且b₂=4，b₅=10．表中每一行正中间一个数a₁，a₃，a₇，…构成数列{c_n}，其前n项和为S_n．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）若上表中，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数，且a₁₃=1．①求S_n；②记M={n|（n+1）c_n≥λ，n∈N^*}，若集合M的元素个数为3，求实数λ的取值范围．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=x-1-alnx（a∈R））．
（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线的方程为3x-y-3=0，求实数a的值；
（2）求证：f（x）≥0恒成立的充要条件是a=1；
（3）若a＜0，且对任意x₁，x₂∈（0，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤4|-|，求实数a的取值范围．

21. 难度：中等

选做题：
如图，AB是半圆O的直径，C是圆周上一点（异于A、B），过C作圆O的切线l，过A作直线l的垂线AD，垂足为D，AD交半圆于点E．求证：CB=CE．

22. 难度：中等

选做题：
矩阵与变换在平面直角坐标系xOy中，直线x+y+2=0在矩阵M=对应的变换作用下得直线m：x-y-4=0，求实数a，b的值．

23. 难度：中等

选做题：在极坐标系中，圆C：p=10cosθ和直线l：3ρc0sθ-4ρsinθ-30=0相交于A、B两点，求线段AB的长．

24. 难度：中等

解不等式|2x-4|＜4-|x|．

25. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，，M是棱CC₁的中点，
（1）求证：A₁B⊥AM；
（2）求直线AM与平面AA₁B₁B所成角的正弦值．

26. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的首项a₁=2，公比q=3，S_n是它的前n项和．求证：≤．