2011年江西省宜春市高考数学模拟试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

如果（a，b∈R，i表示虚数单位），那么a+b=（ ）
A．0
B．-3
C．1
D．3

2. 难度：中等

设集合P={3，log₂a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则P∪Q=（ ）
A．{3，0}
B．{3，0，1}
C．{3，0，2}
D．{3，0，1，2}

3. 难度：中等

给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的（ ）条件
A．充要
B．充分非必要
C．必要非充分
D．既非充分又非必要

4. 难度：中等

已知，则下列结论中不正确的是（ ）
A．将函数f（x）的图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象
B．函数y=f（x）•g（x）的图象关于对称
C．函数y=f（x）•g（x）的最大值为
D．函数y=f（x）•g（x）的最小正周期为

5. 难度：中等

一个四棱锥的三视图如图所示，其中主视图是腰长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的体积是（ ）

A．
B．1
C．
D．2

6. 难度：中等

某市原来居民用电价为0.52元/kw•h，换装分时电表后，峰时段（早上八点到晚上九点）的电价0.55元/kw•h，谷时段（晚上九点到次日早上八点）的电价为0.35元/kw•h．对于一个平均每月用电量为200kw•h 的家庭，换装分时电表后，每月节省的电费不少于原来电费的10%，则这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为（ ）
A．110kw•h
B．114kw•h
C．118kw•h
D．120kw•h

7. 难度：中等

已知A，B，P是双曲线上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积，则该双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

直线x=m，y=x将圆面x²+y²≤4分成若干块，现用5种颜色给这若干块涂色，每块只涂一种颜色，且任意两块不同色，共有120种涂法，则m的取值范围是（ ）
A．
B．（-2，2）
C．
D．（-∞，-2）∪（2，+∞）

9. 难度：中等

定义：若平面点集A中的任一个点（x，y），总存在正实数r，使得集合，则称A为一个开集．给出下列集合：①（x，y）|x²+y²=1；②（x，y）|x+y+2≥0；③（x，y）|x+y＜6；④．其中是开集的是（ ）
A．①④
B．②③
C．②④
D．③④

10. 难度：中等

如图展示了一个由区间（0，4）到实数集R的映射过程：区间（0，4）中的实数m对应数轴上的点M（如图），将线段AB围成一个正方形，使两端点A、B恰好重合（如图），再将这个正方形放在平面直角坐标系中，使其中两个顶点在y轴上，点A的坐标为（0，4）（如图），若图中直线AM与x轴交于点N（n，0），则m的象就是n，记作f（m）=n．现给出以下命题：
①f（2）=0；
②f（x）的图象关于点（2，0）对称；
③f（x）在（3，4）上为常数函数；④f（x）为偶函数．
其中正确命题的个数有（ ）

A．1
B．2
C．3
D．4

二、解答题

11. 难度：中等

，，则范围为    ．（ O为坐标原点）．

12. 难度：中等

执行右边的程序框图，则输出的结果是    ．

13. 难度：中等

已知D是由不等式组，所确定的平面区域，则圆x²+y²=4在区域D内的弧长为    ．

14. 难度：中等

给出下列命题：
①y=x²是幂函数        
②函数f（x）=2^x-x²的零点有2个
③展开式的项数是6项
④函数y=sinx（x∈[-π，π]）图象与x轴围成的图形的面积是
⑤若ξ～N（1，σ²），且P（0≤ξ≤1）=0.3，则P（ξ≥2）=0.2
其中真命题的序号是    （写出所有正确命题的编号）．

15. 难度：中等

A．化极坐标方程ρ²cosθ-ρ=0为直角坐标方程为    ．
B．不等式|2-x|+|x+1|≤a对任意x∈[0，5]恒成立的实数a的取值范围为    ．

16. 难度：中等

设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且acosC+c=b．
（1）求角A的大小；
（2）若a=1，求△ABC的周长l的取值范围．

17. 难度：中等

桌面上有两颗均匀的骰子（6个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．将桌面上骰子全部抛掷在桌面上，然后拿掉哪些朝上点数为奇数的骰子，如果桌面上没有了骰子，停止抛掷，如果桌面上还有骰子，继续抛掷桌面上的剩余骰子．记抛掷两次之内（含两次）去掉的骰子的颗数为X．
（Ⅰ）求P（X=1）；     （Ⅱ）求X的分布列及期望 EX．

18. 难度：中等

如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧面A₁ADD₁⊥底面ABCD，D₁A=D₁D=，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点．
（Ⅰ）求证：A₁O∥平面AB₁C；
（Ⅱ）求锐二面角A-C₁D₁-C的余弦值．

19. 难度：中等

设函数f（x）=x-ae^x-1．
（Ⅰ）求函数f（x）单调区间；
（Ⅱ）若f（x）≤0对x∈R恒成立，求a的取值范围．

20. 难度：中等

如图，已知直线l与抛物线x²=4y相切于点P（2，1），且与x轴交于点A，定点B的坐标为（2，0）．
（I）若动点M满足，求点M的轨迹C；
（Ⅱ）若过点B的直线l′（斜率不等于零）与（I）中的轨迹C交于不同的两点E、F（E在B、F之间），试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围．

21. 难度：中等

设S_n是数列a_n的前n项和，点P（a_n，S_n）（n∈N₊，n≥1）在直线y=2x-2上．
（Ⅰ）求数列a_n的通项公式；
（Ⅱ）记，数列b_n的前n项和为T_n，求使T_n＞2011的n的最小值；
（Ⅲ）设正数数列c_n满足log₂a_n+1=（c_n）ⁿ⁺¹，求数列c_n中的最大项．