高考数学一轮复习必备（第76课时）：第九章 直线、平面、简单几何体-空间向量及其运算（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

如图：在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为A₁C₁与B₁D₁的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

有以下命题：
①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；
②O，A，B，C为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；
③已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底．
其中正确的命题是（ ）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③

3. 难度：中等

下列命题正确的是（ ）
A．若与共线，与共线，则与共线
B．向量共面就是它们所在的直线共面
C．零向量没有确定的方向
D．若，则存在唯一的实数λ使得

4. 难度：中等

已知A、B、C三点不共线，O是平面ABC外的任一点，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

对于空间任意一点O和不共线三点A，B，C，点P满足是点P，A，B，C共面的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

二、解答题

6. 难度：中等

棱长为a的正四面体中，=    ．

7. 难度：中等

向量两两夹角都是60°，，则=    ．

8. 难度：中等

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，点E，F分别是上底面A₁C₁和侧面CD₁的中心，求下列各式中的x，y的值：
（1），则x=    ；
（2），则x=    ，y=    ；
（3），则x=    ，y=    ．

9. 难度：中等

已知平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁，化简下列向量表达式，并填上化简后的结果向量：
（1）=    ；
（2）=    ．

10. 难度：中等

已知在正三棱锥P-ABC中，M，N分别为PA，BC中点，G为MN中点，求证：PG⊥BC．

11. 难度：中等

已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．
（1）用向量法证明E，F，G，H（2）四点共面；
（2）用向量法证明：BD∥平面EFGH；
（3）设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有．

12. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，求异面直线BD₁与AC所成角的余弦值．

13. 难度：中等

设ABCD-A₁B₁C₁D₁是平行六面体，M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC₁B₁对角线BC₁上的点，且BN=3NC₁，设，试求a，b，c的值．

14. 难度：中等

空间四边形OABC中，OA=8，AB=6，AC=4，BC=5，∠OAC=45°，∠OAB=60°，求OA与BC夹角的余弦值．

15. 难度：中等

如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，G，H，K，L分别为平行六面体棱的中点．求证，
（1）；
（2）E，F，G，H，K，L六点共面．