2011年《金版新学案》高三数学（文科）一轮复习测评卷：章末质量检测09（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

平面α外的一条直线a与平面α内的一条直线b不平行，则（ ）
A．a∥\α
B．a∥α
C．a与b一定是异面直线
D．α内可能有无数条直线与a平行

2. 难度：中等

正方体的表面积是a²，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是（ ）
A．
B．
C．2πa²
D．3πa²

3. 难度：中等

若正四棱柱的对角线与底面所成的角的余弦值为，且底面边长为2，则高（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

4. 难度：中等

已知直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，则下列命题正确的是（ ）
A．若α∥β，则m⊥n
B．若α⊥β，则m∥n
C．若m⊥n，则α∥β
D．若n∥α，则α∥β

5. 难度：中等

将正方形ABCD沿对角线BD折成一个120°的二面角，点C到达点C₁，这时异面直线AD与BC₁所成的角的余弦值是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

设有三个命题，
甲：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；
乙：底面是矩形的平行六面体是长方体；
丙：直四棱柱是直平行六面体．
以上命题中，真命题的个数有（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

7. 难度：中等

函数y=2x²-ln2x的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．和

8. 难度：中等

若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成二面角的余弦值是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，O是底面A₁B₁C₁D₁的中心，则O到平面AB C₁D₁的距离为（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，下列四个命题中，正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m⊂α，n⊂α，且m∥β，n∥β，则α∥β
C．若α⊥β，m⊂α，则m⊥β
D．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α

11. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD₁、D₁C₁的中点，则直线OM（ ）

A．和AC、MN都垂直
B．垂直于AC，但不垂直于MN
C．垂直于MN，但不垂直于AC
D．与AC、MN都不垂直

12. 难度：中等

如图所示，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，BC₁⊥AC，则C₁在面ABC上的射影H必在（ ）

A．直线AB上
B．直线BC上
C．直线CA上
D．△ABC内部

二、解答题

13. 难度：中等

若正三棱锥底面的边长为a，且每两个侧面所成的角均为90°，则底面中心到侧面的距离为    ．

14. 难度：中等

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，点E为AA₁的中点，在对角面BB₁D₁D上取一点M，使AM+ME最小，其最小值为    ．

15. 难度：中等

a，b，c是空间中互不重合的三条直线，下面给出五个命题：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；
②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；
③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；
④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线；
⑤若a，b与c成等角，则a∥B、
上述命题中正确的     （只填序号）．

16. 难度：中等

如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB，则下列结论中：
①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④∠PDA=45°．
其中正确的有    （把所有正确的序号都填上）．

17. 难度：中等

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点．
（1）求证：CD⊥PD；
（2）求证：EF∥平面PAD、

18. 难度：中等

在矩形ABCD中，AB=1，BC=a，现沿AC折成二面角D-AC-B，使BD为异面直线AD、BC的公垂线．
（1）求证：平面ABD⊥平面ABC；
（2）当a为何值时，二面角D-AC-B为45°．

19. 难度：中等

如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=BC=CA=3，M为AB的中点，四点P、A、M、C都在球O的球面上．
（1）证明：平面PAB⊥平面PCM；
（2）证明：线段PC的中点为球O的球心．

20. 难度：中等

如图所示，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60°，在四边形ABCD中，∠D=∠DAB=90°，AB=4，CD=1，AD=2．
（1）建立适当的坐标系，并写出点B，P的坐标；
（2）求异面直线PA与BC所成角的余弦值．

21. 难度：中等

已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上的任意一点．
（1）求证：平面EBD⊥平面SAC；
（2）设SA=4，AB=2，求点A到平面SBD的距离．

22. 难度：中等

如图，M、N、P分别是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱AB、BC、DD₁上的点．
（1）若=，求证：无论点P在D₁D上如何移动，总有BP⊥MN；
（2）若D₁P：PD=1：2，且PB⊥平面B₁MN，求二面角M-B₁N-B的余弦值；
（3）棱DD₁上是否总存在这样的点P，使得平面APC₁⊥平面ACC₁？证明你的结论．