2011年山东省烟台市高考模拟数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

如果复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于（ ）
A．
B．
C．-
D．2

2. 难度：中等

给出两个命题：p：|x|=x的充要条件是x为正实数；q：奇函数的图象一定关于原点对称，则下列命题是假命题的是（ ）
A．p∧q
B．p∨q
C．¬p∧q
D．¬p∨q

3. 难度：中等

已知m，l是直线，α，β是平面，则下列命题中正确命题的个数是
①若l⊥α，m∥α，则l⊥m；              ②若m∥l，m⊂α，则l∥α；
③若α⊥β，m⊂α，l⊂β，则m⊥l；       ④若m⊥l，m⊂α，l⊂β，则α⊥β（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

4. 难度：中等

下列函数图象中，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知集合A={x||3x-m|＜4，x∈R}，B=N，若A∩B={1，2，3}则实数m的取范围是（ ）
A．（-1，13）
B．（1，10）
C．（2，7）
D．（5，7）

6. 难度：中等

设F是抛物线C₁：y²=2px（p＞0）的焦点，点A是抛物线与双曲线C₂：的一条渐近线的一个公共点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（ ）
A．2
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知cos（x-）=m，则cosx+cos（x-）=（ ）
A．2m
B．±2m
C．
D．

8. 难度：中等

某校组织一次高三模拟考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为，则下列命题不正确的是（ ）
A．该校这次考试的数学平均成绩为100
B．该校这次考试的数学标准差为20
C．分数在120分以上的人数与分数在80分以下的人数相同
D．分数在110分以上的人数与分数在70分以下的人数相同

9. 难度：中等

某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S的值为（ ）

A．1
B．
C．
D．

10. 难度：中等

从一个正方体的8个顶点中任取3个，则以这3个点为顶点构成直角三角形的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，其前n项和是S_n，若S₁₅＞0，S₁₆＜0，则在，，…，中最大的是（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

已知f（x）是定义在[a，b]上的函数，其图象是一条连续的曲线，且满足下列条件：
①f（x）的值域为G，且G⊆[a，b]；
②对任意的x，y∈[a，b]，都有|f（x）-f（y）|＜|x-y|．
那么，关于x的方程f（x）=x在区间[a，b]上根的情况是（ ）
A．没有实数根
B．有且仅有一个实数根
C．恰有两个实数根
D．有无数个不同的实数根

二、解答题

13. 难度：中等

若向量，满足，，，则向量与的夹角等于    ．

14. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²+bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为，则a的值为    ．

15. 难度：中等

已知函数，满足x+（x+2）f（x+2）≤2的x取值范围是    ．

16. 难度：中等

如果过点（0，1）斜率为k的直线l与圆x²+y²+kx+my-4=0交于M、N两点，且M、N关于直线x+y=0对称，那么直线l的斜率k=    ；不等式组表示的平面区域的面积是    ．

17. 难度：中等

已知向量，，函数．
（Ⅰ）若f（x）=1，求的值；
（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足，求f（2B）的取值范围．

18. 难度：中等

为了了解高中一年级学生身高情况，某校按10%的比例对全校700名高中一年级学生按性别进行抽样检查，没得身高频数分布表如下表1、表2．
表1：男生身高频数分布表

身高（cm）	[160，165）	[165，170）	[170，175）	[175，180）	[180，185）	[185，190）
频数	2	5	14	13	4	2

表2：女生身高频数分布表

身高（cm）	[150，155）	[155，160）	[160，165）	[165，170）	[170，175）	[175，180）
频数	1	7	12	6	3	1

（Ⅰ）求该校男生的人数并画出其频率分布直方图；
（Ⅱ）估计该校学生身高（单位：cm）在[165，180）的概率；
（Ⅲ）在男生样本中，从身高（单位：cm）在[180，190）的男生中任选3人，设ξ表示所选3人中身高（单位：cm）在[180，185）的人数，求ξ的分布列和数学期望．

19. 难度：中等

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BCA=90°，AC=BC=2，A₁在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA₁⊥AC₁．
（Ⅰ）求证：AC₁⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）求C₁到平面A₁AB的距离；
（Ⅲ）求二面角A-A₁B-C的余弦值．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=1，，且，{b_n}为等比数列．
（Ⅰ）求实数λ及数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若S_n是数列{a_n}的前n项和，求S_n．

21. 难度：中等

如图，已知圆，经过椭圆（a＞b＞0）的右焦点F及上顶点B，过椭圆外一点（m，0）（m＞a）倾斜角为的直线1交椭圆于C，D两点
（1）求椭圆的方程
（2）若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部，求m的取值范围．

22. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）设m＞0，求f（x）在[m，2m]上的最大值；
（III）试证明：对∀n∈N^*，不等式恒成立．