2011年江西省新余市高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若复数为虚数单位）是纯虚数，则角α的值可能为（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9

3. 难度：中等

定积分的值等于（ ）
A．
B．
C．
D．64π

4. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，则输出的S等于（ ）

A．57
B．26
C．42
D．71

5. 难度：中等

已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

6. 难度：中等

设数列{a_n}是公比为a（a≠1），首项为b的等比数列，S_n是前n项和，对任意的n∈N₊，点（S_n，S_n+1）在（ ）
A．直线y=ax-b上
B．直线y=bx+a上
C．直线y=bx-a上
D．直线y=ax+b上

7. 难度：中等

设G是△ABC的重心，且，则B的大小为（ ）
A．15°
B．30°
C．45°
D．60°

8. 难度：中等

函数的最小值等于（ ）
A．3
B．2
C．4
D．

9. 难度：中等

若关于x的不等式a≤-3x+4≤b的解集恰好是[a，b]，则a+b的值为（ ）
A．5
B．4
C．
D．

10. 难度：中等

已知f（x）=Asin（ωπx+ϕ）（A＞0，ω＞0，0＜ϕ＜π），其导函数f′（x）的部分图象如图所示，则f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+…f（2011）的值是（ ）

A．
B．
C．1
D．0

二、解答题

11. 难度：中等

某地为上海“世博会”招募了20名志愿者，他们的编号分别是1号、2号、…19号、20号．若要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个编号较大的在另一组．那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取种数是    ．

12. 难度：中等

已知椭圆的上焦点为F，左、右顶点分别为B₁，B₂，下顶点为A，直线AB₂与直线B₁F交于点P，若，则椭圆的离心率为    ．

13. 难度：中等

已知平面区域，，向区域Ω内随机投一点P，点P落在区域M内的概率为    ．

14. 难度：中等

当a，a₁，a₂成等差数列时，有a+2a₁-a₂=0，当a，a₁，a₂，a₃成等差数列时，有a-3a₁+3a₂-a₃=0，当a，a₁，a₂，a₃，a₄成等差数列时，有a-4a₁+6a₂-4a₃+a₄=0，由此归纳：当a，a₁，a₂，…a_n成等差数列时有C_na-C_n¹a₁+C_n²a₂-…+（-1）ⁿC_nⁿa_n=0，如果a，a₁，a₂，…a_n成等比数列，类比上述方法归纳出的等式为    ．

15. 难度：中等

（A）直线xcosα+ysinα-sinα-3=0与曲线的位置关系是    ；
（B）不等式|x+3|+|x-1|≥a²-3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为    ．

16. 难度：中等

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的一系列对应值如下表：

x	…							…
y	…		1			-1		…

（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若在△ABC中，AC=2，BC=3，，求△ABC的面积．

17. 难度：中等

某中学举办“上海世博会”知识宣传活动，现场的“抽卡有奖游戏”特别引人注目，游戏规则是：盒子中装有8张形状大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会吉祥物海宝”或“世博会会徽”，要求4人一组参加游戏，参加游戏的4人从盒子中轮流抽取卡片，一次抽2张，抽取后不放回，直到4人中某人一次抽到2张“世博会吉祥物海宝”卡才能获奖，当某人获奖或者盒中卡片抽完时游戏终止．
（Ⅰ）游戏开始之前，一位高中生问：“盒子中有几张‘世博会会徽’卡？”主持人说：“若从盒中任抽2张卡片不都是‘世博会会徽’卡的概率为”请你回答有几张“世博会会徽”卡呢？
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，甲、乙、丙、丁4人参加游戏，约定甲、乙、丙、丁依次抽取．用随机变量ξ表示游戏终止时总共抽取的次数（注意，一次抽取的是两张卡片），求ξ的分布列和数学期望．

18. 难度：中等

在直角梯形PBCD中，∠D=∠C=，BC=CD=2，PD=4，A为PD的中点，如图1．将△PAB沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC，点E在SD上，且，如图2．
（1）求证：SA⊥平面ABCD；
（2）求二面角E-AC-D的正切值；
（3）在线段BC上是否存在点F，使SF∥平面EAC？若存在，确定F的位置，若不存在，请说明理由．

19. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}满足，T_n=c₁c₂+c₂c₃+c₃c₄+…+c_nc_n+1，若对一切n∈N^*不等式4mT_n＞c_n恒成立，求实数m的取值范围．

20. 难度：中等

已知△ABC的三边长|CB|，|AB|，|CA|成等差数列，若点A，B的坐标分别为（-1，0），（1，0）．
（Ⅰ）求顶点C的轨迹W的方程；
（Ⅱ）若线段CA的延长线交轨迹W于点D，当时，求线段CD的垂直平分线l与x轴交点的横坐标的取值范围．

21. 难度：中等

已知函数．
（1）当时，求函数h（x）=f（x）-g（x）的单调区间；
（2）若b=2且h（x）=f（x）-g（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；
（3）当a≠0时，设函数f（x）的图象C₁与函数g（x）的图象C₂交于点P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C₁、C₂于点M，N，则是否存在点R，使C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线平行？如果存在，请求出R的横坐标，如果不存在，请说明理由．