2007年北京市石景山区高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集U={1，3，5，7，9}，集合A={1，|a-5|，9}，∁_UA={5，7}，则实数a的值是（ ）
A．2
B．8
C．-2或8
D．2或8

2. 难度：中等

一个年级有12个班，每个班有50名同学，随机编号为1-50号，为了了解他们在课外的兴趣爱好，要求每班的33号学生留下列参加问卷调查，这里运用的抽样方法是（ ）
A．系统抽样法
B．抽签法
C．随机数表法
D．分层抽样法

3. 难度：中等

把函数的图象向右平移个单位，所得图象对应函数的最小正周期是（ ）
A．π
B．2π
C．4π
D．

4. 难度：中等

从4台A型笔记本电脑与5台B型笔记本电脑中任选3台，其中至少要有A型和B型笔记本电脑各一台，则不同的选取方法共有（ ）
A．140种
B．84种
C．70种
D．35种

5. 难度：中等

以原点为圆心，且截直线3x+4y+15=0所得弦长为8的圆的方程是（ ）
A．x²+y²=5
B．x²+y²=16
C．x²+y²=4
D．x²+y²=25

6. 难度：中等

对于直线m、n和平面α，下面命题中的真命题是（ ）
A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥α
B．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交
C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥n
D．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n

7. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足，那么T_n=a₂+a₄+…+a_2n为（ ）
A．
B．2^1-2n-2
C．
D．

8. 难度：中等

不等式[（1-a）n-a]lga＜0，对任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．{a|a＞1}
B．{a|0＜a＜}
C．{a|0＜a＜或a＞1}
D．{a|a0＜a＜或＞1}

二、解答题

9. 难度：中等

若（x+2a）⁸的展开式中含x⁶项的系数是448，则正实数a的值为    ．

10. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知边长为4，a边长为6，则b边长为    ，△ABC的面积为    ．

11. 难度：中等

已知球O的一个截面的面积为π，球心O到这个截面的距离为1，则该球的半径为    ，该球的体积为    ．

12. 难度：中等

若函数的最小值是    ．

13. 难度：中等

实数x，y满足不等式组则的范围    ．

14. 难度：中等

已知P是双曲线的右支上一点，A₁，A₂分别为双曲线的左、右顶点，F₁，F₂分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的离心率为e，有下列命题：
①双曲线的一条准线被它的两条渐近线所截得的线段长度为；
②若|PF₁|=e|PF₂|，则e的最大值为；
③△PF₁F₂的内切圆的圆心横坐标为a；
其中正确命题的序号是    ．

15. 难度：中等

已知A、B两点的坐标分别为
（Ⅰ）求||的表达式；
（Ⅱ）若（O为坐标原点），求tanx的值；
（Ⅲ）若，求函数f（x）的最小值．

16. 难度：中等

有红色和黑色两个盒子，红色盒中有6张卡片，其中一张标有数字0，两张标有数字1，三张标有数字2；黑色盒中有7张卡片，其中4张标有数字0，一张标有数字1，两张标有数字2．现从红色盒中任意取1张卡片（每张卡片被抽出的可能性相等），黑色盒中任意取2张卡片（每张卡片抽出的可能性相等），共取3张卡片．
（Ⅰ）求取出的3张卡片都标有数字0的概率；
（Ⅱ）求取出的3张卡片数字之积是4的概率；
（Ⅲ）求取出的3张卡片数字之积是0的概率．

17. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AD=BC=2，对角线AC⊥BD于O，∠DAO=60°，且PO⊥平面ABCD，直线PA与底面ABCD所成的角为60°，M为PD上的一点．
（Ⅰ）证明：PD⊥AC；
（Ⅱ）求二面角A-PB-D的大小．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+2x²+x-4，g（x）=ax²+x-8（a＞2）．
（Ⅰ）求函数f（x）极值；
（Ⅱ）若对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）≥g（x），求实数a的取值范围．

19. 难度：中等

已知点P_n（a_n，b_n）（n∈N^*）都在直线l：y=2x+2上，P₁为直线l与x轴的交点，数列{a_n}成等差数列，公差为1．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若问是否存在k∈N^*，使得f（k+5）=2f（k）-5成立？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由；
（Ⅲ）求证：（n≥2，n∈N*）．

20. 难度：中等

已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，且准线方程为直线l过M（1，0）与抛物线交于A，B两点，点P在y轴的右侧且满足（O为坐标原点）．
（Ⅰ）求抛物线的方程及动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）记动点P的轨迹为C，若曲线C的切线斜率为λ，满足，点A到y轴的距离为a，求a的取值范围．