2010年六校联合调研高三数学综合练习试卷（13）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知全集U=R，集合，则（∁_UM）∪N=    ．

2. 难度：中等

是偶函数，且y=f（x）在（0，+∞）上是减函数，则n=    ．

3. 难度：中等

y=2sin（2x+φ），φ∈（0，π）在上是减函数，则φ=    ．

4. 难度：中等

已知a，b∈R，且，则ab=    ．

5. 难度：中等

运行如图算法流程，当输入的x值为    时，输出的y值为4．

6. 难度：中等

已知命题p：∀x∈（1，+∞），log₂x＞0，则¬p为    ．

7. 难度：中等

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，P是B₁C₁的中点，则四棱锥P-A₁BCD₁的体积为    ．

8. 难度：中等

同时抛掷两枚正方体骰子，所得点数之和为7的概率是     ．

9. 难度：中等

直线x=t过双曲线-=1（a＞0，b＞0）的右焦点且与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，若原点在以AB为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是     ．

10. 难度：中等

已知c＞0，设p：y=c^x在R上单调递减，q：g（x）=ln（2cx²-2x+1）的值域为R，如果“¬p或¬q”为真命题，“p或q”也为真命题，则实数c的范围是    ．

11. 难度：中等

在△ABC中，已知D是AB边上一点，若，，则λ₁-λ₂=    ．

12. 难度：中等

f（x）=sinx+cosx，f₁（x）=f'（x），f₂（x）=f'₁（x），…，f_n（x）=f'_n-1（x）（其中n∈N^*，n≥2），则=    ．

13. 难度：中等

当时，恒成立，则实数a的取值范围是    ．

14. 难度：中等

已知点P（a，b）与点Q（1，0）在直线2x-3y+1=0的两侧，则下列说法正确的是     ．
①2a-3b+1＞0；
②a≠0时，有最小值，无最大值；
③∃M∈R⁺，使＞M恒成立；
④当a＞0且a≠1，b＞0时，则的取值范围为（-∞，-）∪（，+∞）．

15. 难度：中等

如图，△ABD和△BCD都是等边三角形，E、F、O分别是AD、BD、AC的中点，G是OC的中点；
（1）求证：BD⊥FG；
（2）求证：FG∥平面BOE．

16. 难度：中等

在平行四边形ABCD中，设∠DAB=α，∠CAB=β，已知，，其中；
（1）求cosγ的值；
（2）求sin（β+2γ）的值．

17. 难度：中等

某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为k米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连．经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为8k元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为元．假设座位等距离分布，且至少有两个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记摩天轮的总造价为y元．
（1）试写出y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（2）当k=100米时，试确定座位的个数，使得总造价最低？

18. 难度：中等

已知半椭圆和半圆x²+y²=b²（y≤0）组成曲线C，其中a＞b＞0；如图，半椭圆内切于矩形ABCD，且CD交y轴于点G，点P是半圆x²+y²=b²（y≤0）上异于A，B的任意一点，当点P位于点时，△AGP的面积最大．
（1）求曲线C的方程；
（2）连PC、PD交AB分别于点E、F，求证：AE²+BF²为定值．

19. 难度：中等

各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，；
（1）求a_n；
（2）令，，求{c_n}的前n项和T_n；
（3）令（λ、q为常数，q＞0且q≠1），c_n=3+n+（b₁+b₂+…+b_n），是否存在实数对（λ、q），使得数列{c_n}成等比数列？若存在，求出实数对（λ、q）及数列{c_n}的通项公式，若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

已知函数（a、b∈R），
（Ⅰ）若f（x）在R上存在最大值与最小值，且其最大值与最小值的和为2680，试求a和b的值；
（Ⅱ）若f（x）为奇函数：
（1）是否存在实数b，使得f（x）在为增函数，为减函数，若存在，求出b的值，若不存在，请说明理由；
（2）如果当x≥0时，都有f（x）≤0恒成立，试求b的取值范围．

21. 难度：中等

如图，AB是⊙O的直径，M为圆上一点，ME⊥AB，垂足为E，点C为⊙O上任一点，AC，EM交于点D，BC交DE于点F．求证：
（1）AE：ED=FE：EB；
（2）EM²=ED•EF．

22. 难度：中等

已知点P（x，y）是圆x²+y²=2y上的动点，
（1）求2x+y的取值范围；
（2）若x+y+a≥0恒成立，求实数a的取值范围．

23. 难度：中等

求使等式成立的矩阵M．

24. 难度：中等

已知，求函数的最小值以及取最小值时所对应的x值．

25. 难度：中等

如图，直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，C₁C=CB=CA=2，AC⊥CB． D、E分别为棱C₁C、B₁C₁的中点．
（1）求点E到平面ADB的距离；
（2）求二面角E-A₁D-B的平面角的余弦值；
（3）在线段AC上是否存在一点F，使得EF⊥平面A₁DB？若存在，确定其位置；若不存在，说明理由．

26. 难度：中等

在1，2，3，…9这9个自然数中，任取3个不同的数．
（1）求这3个数中至少有1个是偶数的概率；
（2）求这3个数和为18的概率；
（3）设ξ为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1，2，3，则有两组相邻的数1，2和2，3，此时ξ的值是2）．求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．