2011年上海市嘉定区高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设直角三角形的三边长分别为a，b，c（a＜b＜c），则“a：b：c=3：4：5”是“a，b，c成等差数列”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充分必要条件
D．既非充分又非必要条件

2. 难度：中等

有下列四个命题：
①三个点可以确定一个平面；
②圆锥的侧面展开图可以是一个圆面；
③底面是等边三角形，三个侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；
④过球面上任意两不同点的大圆有且只有一个．
其中正确命题的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

3. 难度：中等

方程2^x=x²的实数解的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

4. 难度：中等

对于函数y=f（x），x∈D，若存在常数C，对任意x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使得，则称函数f（x）在D上的几何平均数为C．已知f（x）=x²，D=[2，4]，则函数f（x）在D上的几何平均数为（ ）
A．9
B．8
C．4
D．2

二、解答题

5. 难度：中等

设i是虚数单位，a是实数，若（1+i）（1-ai）是实数，则a=    ．

6. 难度：中等

函数f（x）=的定义域是    ．

7. 难度：中等

等差数列{a_n}中，公差d=1，a₂是a₁与a₄的等比中项，则a₁=    ．

8. 难度：中等

若，则cos2θ=    ．

9. 难度：中等

设函数的反函数为f^-1（x），则方程f^-1（x）=4的解是    ．

10. 难度：中等

已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底边长AB=1，高AA₁=2，则异面直线BD₁与AD所成角的大小为    （结果用反三角函数值表示）．

11. 难度：中等

设f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）=-f（x），则f（-2）=    ．

12. 难度：中等

若（1-2^x）⁹展开式中第3项是288，则=    ．

13. 难度：中等

设a、b∈R，把三阶行列式中元素3的余子式记为f（x），若关于x的不等式f（x）＜0的解集为（-1，b），则a+b=    ．

14. 难度：中等

如图所示的程序框图，输出b的结果是    ．

15. 难度：中等

有三个学习小组，A组有学生5人，B组有学生3人，C组有学生2人，从中任意选出4人参加知识竞赛，则A、B、C三组每组都至少有1人的概率是    ．

16. 难度：中等

如果关于x的不等式f（x）＜0g（x）＜0的解集分别为（a，b）和（，），那么称这两个不等式为对偶不等式．如果不等式x²-4xcos2θ+2＜0与不等式2x²-4xsin2θ+1＜0与为对偶不等式，且θ∈（，π），那么θ=    ．

17. 难度：中等

设A是平面向量的集合，是定向量，对，定义．现给出如下四个向量：
①，②，③，④．
那么对于任意、，使恒成立的向量的序号是    （写出满足条件的所有向量的序号）．

18. 难度：中等

已知数列{a_n}（n∈N^*）满足，且t＜a₁＜t+1，其中t＞2，若a_n+k=a_n（k∈N^*），则实数k的最小值为    ．

19. 难度：中等

如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，，在三角形内挖去一个半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分别相切于点C、M，与BC交于点N），求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积．

20. 难度：中等

已知向量，，其中ω为常数，且ω＞0．
（1）若ω=1，且∥，求tanx的值；
（2）设函数，若f（x）的最小正周期为π，求f（x）在时的值域．

21. 难度：中等

为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源消耗，可在建筑物的外墙加装不超过10厘米厚的隔热层．某幢建筑物要加装可使用20年的隔热层．每厘米厚的隔热层的加装成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：厘米）满足关系：C（x）=．若不加装隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层加装费用与20年的能源消耗费用之和．
（1）求k的值及f（x）的表达式，并写f（x）=的定义域；
（2）隔热层加装厚度为多少厘米时，总费用f（x）=最小？并求出最小总费用．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+m，其中m∈R，定义数列{a_n}如下：a₁=0，a_n+1=f（a_n），n∈N*．
（1）当m=1时，求a₂，a₃，a₄的值；
（2）是否存在实数m，使a₂，a₃，a₄成等比数列？若存在，请求出实数m的值，并求出等比数列的公比；若不存在，请说明理由．
（3）设m=-1，f^-1（x）为f（x）在x∈[0，+∞）的反函数，数列{b_n}满足：b₁=1，b_n+1=f^-1（b_n²）（n∈N*），记S_n=b₁²+b₂²+…+b_n²，求使S_n＞2010成立的最小正整数n的值．

23. 难度：中等

设a＞1，函数f（x）的图象与函数y=4-a^|x-2|-2•a^x-2的图象关于点A（1，2）对称．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若关于x的方程f（x）=m有两个不同的正数解，求实数m的取值范围；
（3）设函数g（x）=f（-x），x∈[-2，+∞），g（x）满足如下性质：若存在最大（小）值，则最大（小）值与a无关．试求a的取值范围．