2007年江苏省苏锡常镇四市高考数学一模试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

“α、β、γ成等差数列”是“等式sin（α+γ）=sin2β成立”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件

2. 难度：中等

一个容量为20的样本，数据的分组及各组的频数如图，则样本在区间（10，50]上的频率为（ ）

A．0.5
B．0.7
C．0.25
D．0.05

3. 难度：中等

已知（2^x-）⁹展开式的第7项为，则实数x的值是（ ）
A．-
B．-3
C．
D．4

4. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，直线A₁B与平面BC₁D₁所成的角为（ ）
A．arctan
B．
C．
D．

5. 难度：中等

若函数y=f（x）的图象和y=sin（x+）的图象关于点P（，0）对称，则f（x）的表达式是（ ）
A．cos（x+）
B．-cos（x-）
C．-cos（x+）
D．cos（x-）

6. 难度：中等

直线Ax+By+C=0与圆x²+y²=4交于M、N两点，若满足C²=A²+B²，则（O为坐标原点）等于（ ）
A．-2
B．-1
C．0
D．1

7. 难度：中等

已知是（-∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是（ ）
A．（0，1）
B．
C．
D．

8. 难度：中等

一个旅游景区如图所示，某人从点P处进，点Q处出，游览三个景点A、B、C及沿途风光，则不同的游览线路种数最少为（ ）

A．6
B．8
C．12
D．48

9. 难度：中等

已知椭圆E的离心率为e，两焦点为F₁，F₂，抛物线C以F₁为顶点，F₂为焦点，P为两曲线的一个公共点，若=e，则e的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

设，f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]，且，则a₂₀₀₇=（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

11. 难度：中等

cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为    ．

12. 难度：中等

不等式x+3＞|2x-1|的解集为     ．

13. 难度：中等

如果实数x、y满足条件，那么2x-3y的最大值为   

14. 难度：中等

抛物线y=-x²上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值是   

15. 难度：中等

已知函数，直线l₁：9x+2y+c=0．若当x∈[-2，2]时，函数y=f（x）的图象恒在直线l的下方，则c的取值范围是   

16. 难度：中等

数列{a_n}满足递推式a_n=3a_n-1+3ⁿ-1（n≥2），又a₁=5，则使得为等差数列的实数λ=    ．

17. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若•=•=1．
（Ⅰ）求证：A=B；
（Ⅱ）求边长c的值；
（Ⅲ）若|+|=，求△ABC的面积．

18. 难度：中等

通讯中，发报方常采取重复发送同一信号的办法来减少在接收中可能发生的错误，．假定发报机只发0和1两种信号，接收时发生错误的情况是：“发0收到1”或“发1收到0”，它们发生的概率都是0.05．
（Ⅰ）若一个信号连续发2次，接收时“两次信号相同”，接收方接收信号；否则不接收，则接收方接收一个信号的概率是多少？
（Ⅱ）若一个信号连续发3次，按“少数服从多数”的原则接收，则正确接收一个信号的概率是多少？

19. 难度：中等

已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=1，BC=2，又PB⊥平面ABCD，且PB=1，点E在棱PD上，且DE=2PE．
（Ⅰ）求异面直线PA与CD所成的角的大小；
（Ⅱ）求证：BE⊥平面PCD；
（Ⅲ）求二面角A-PD-B的大小．

20. 难度：中等

已知点D在定线段MN上，且|MN|=3，|DN|=1，一个动圆C过点D且与MN相切，分别过M、N作圆C的另两条切线交于点P．
（Ⅰ）建立适当的直角坐标系，求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）过点M作直线l与所求轨迹交于两个不同的点A、B，若（+λ）•（-λ）=0，且λ∈[2-，2+]，求直线l与直线MN夹角θ的取值范围．

21. 难度：中等

已知函数f（x）的定义域为[0，1]，且同时满足：①f（1）=3；②f（x）≥2对一切x∈[0，1]恒成立；③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，则f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）-2，
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）试比较与的大小；
（Ⅲ）某同学发现：当（n∈N）时，有f（x）＜2x+2，由此他提出猜想：对一切x∈（0，1]，都有f（x）＜2x+2，请你判断此猜想是否正确，并说明理由．