2011年高三数学精品复习20：多面体与球（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知三边长分别为4、5、6的△ABC的外接圆恰好是球O的一个大圆，P为球面上一点，若点P到△ABC的三个顶点的距离相等，则三棱锥P-ABC的体积为：（ ）
A．8
B．10
C．20
D．30

2. 难度：中等

以平行六面体相邻两个面上相互异面的两条对角线的端点为顶点的四面体的体积是平行六面体的体积的：（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

如图，已知A，B，C是表面积为48π的球面上的三点，AB=2，BC=4，∠ABC=60°，O为球心，则二面角O-AB-C的大小为：（ ）

A．
B．
C．arccos
D．arccos

5. 难度：中等

一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

设球O的半径是1，A、B、C是球面上三点，已知A到B、C两点的球面距离都是，且二面角B-OA-C的大小是，则从A点沿球面经B、C两点再回到A点的最短距离是（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD-A′B′C′D′中，AB=1，AA′=，则A、C两点间的球面距离为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

半径为1的球面上的四点A，B，C，D是正四面体的顶点，则A与B两点间的球面距离为（ ）
A．arccos（-）
B．arccos（-）
C．arccos（-）
D．arccos（-）

二、解答题

9. 难度：中等

已知三棱锥S-ABC的底面是正三角形，点A在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心，SA=a，则此三棱锥体积最大值是    ．

10. 难度：中等

下面是关于三棱锥的四个命题：
①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．
②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．
③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥．
④侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．
其中，真命题的编号是    ．（写出所有真命题的编号）

11. 难度：中等

对于四面体ABCD，给出下列四个命题
①若AB=AC，BD=CD，则BC⊥AD；
②若AB=CD，AC=BD，则BC⊥AD；
③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；
④若AB⊥CD，BD⊥AC，则BC⊥AD．
其中真命题的序号是     ．（写出所有真命题的序号）

12. 难度：中等

已知锐角α、β、γ满足：cos²α+cos²β+cos²γ=1，则tanαtanβtanγ的最小值为     ．

13. 难度：中等

已知空间三个平面α，β，γ两两垂直，直线ι与平面α，β所成的角都是30°，则直线l与平面γ所成的角是    ．

14. 难度：中等

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面A₁ABB₁是菱形，侧面BCC₁B₁是矩形，C₁B₁⊥AB，求平面C₁AB₁把棱柱分成两部分的体积的比     ．

15. 难度：中等

在正三棱锥S-ABC中，SA=1，∠ASB=30°，过点A作三棱锥的截面AMN，求截面AMN周长的最小值为     ．

16. 难度：中等

过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与求的表面积的比为     ．

17. 难度：中等

三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，若PA=AC=，则该三棱锥的外接球的体积是    ．

18. 难度：中等

正四棱锥P-ABCD的五个顶点在同一球面上，若该正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为，则这个球的表面积为     ．

19. 难度：中等

如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6 cm²、4 cm²、3 cm²，那么它的外接球体积是     cm³．

20. 难度：中等

点P在直径为2的球面上，过P两两垂直的3条弦，若其中一条弦长是另一条的2倍，则这3条弦长之和的最大值是    ．

21. 难度：中等

已知棱长为a的正四面体ABCD有内切球O，经过该棱锥A-BCD三侧棱中点的截面为α，则O到平面α的距离为     ．

22. 难度：中等

如图1是一个直三棱柱（以A₁B₁C₁为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知A₁B₁=B₁C₁=1，∠A₁B₁C₁=90°，AA₁=4，BB₁=2，．求此几何体的体积．

23. 难度：中等

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=，BB₁=2，∠ABC=90°，E、F分别为AA₁、C₁B₁的中点，求沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度．