2009年浙江省杭州市高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知复数z满足（1-i）z=（1+i）²，则z=（ ）
A．-1+i
B．1+i
C．1-i
D．-1-i

2. 难度：中等

展开式中的常数项为（ ）
A．15
B．-15
C．20
D．-20

3. 难度：中等

下列不等式不一定成立的是（ ）
A．a²+b²≥2ab，（a，b∈R）
B．a²+3＞2a，（a，b∈R）
C．，（x＞0）
D．，（a，b∈R）

4. 难度：中等

若向量的夹角为120°，且，，则有（ ）
A．
B．
C．‖
D．‖

5. 难度：中等

已知x∈（-，0），cosx=，则tan2x等于（ ）
A．
B．-
C．
D．-

6. 难度：中等

执行如图的程序框图，输出的A为（ ）

A．2047
B．2049
C．1023
D．1025

7. 难度：中等

已知f（x）=则f（2009）等于（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2

8. 难度：中等

关于x的函数f（x）=sin（φx+φ），有下列命题：
①∀φ∈R，f（x+2π）=f（x）；
②∃φ∈R，f（x+1）=f（x）；
③∀φ∈R，f（x）都不是偶函数；
④∃φ∈R，f（x）是奇函数．其中假命题的序号是（ ）
A．①③
B．①④
C．②④
D．②③

9. 难度：中等

如图是函数Q（x）的图象的一部分，设函数f（x）=sinx，g （ x ）=，则Q（x）是（ ）

A．
B．f（x）g（x）
C．f（x）-g（x）
D．f（x）+g（x）

10. 难度：中等

设S=+++…+，则不大于S的最大整数[S]等于（ ）
A．2007
B．2008
C．2009
D．3000

二、解答题

11. 难度：中等

若数列{a_n} 满足条件：，且a₁=，则a₃₀=    ．

12. 难度：中等

在△ABC中，若∠B=60°，，BC=2，则AC=    ．

13. 难度：中等

某篮球运动员在一个赛季的40场比赛中的得分的茎叶图如图所示，则这组数据的中位数是    ；众数是    ．．

14. 难度：中等

若x，y满足条件，则z=2x+3y的最大值是    ．

15. 难度：中等

设函数的图象关于点P（x，0）成中心对称，若，则x=    ．

16. 难度：中等

在下列五个函数中，①y=2^x，②y=log2^x，③y=x²，④y=x^-1，⑤y=cos2x．当0＜x¹＜x²＜1
时，使恒成立的函数是    （将正确序号都填上）．

17. 难度：中等

有3张都标着字母A，6张分别标着数字1，2，3，4，5，7的卡片，若任取其中5张卡片组成牌号，则可以组成的不同牌号的总数等于    （用数字作答）

18. 难度：中等

已知向量=（2cosωx，cos2ωx），=（sinωx，1）（其中ω＞0），令f（x）=，且f（x）的最小正周期为π．
（1）求的值；
（2）写出上的单调递增区间．

19. 难度：中等

设集合P={b，1}，Q={c，1，2}，P⊆Q．用随机变量ζ表示方程x²+bx+c=0实根的个数（重根按一个计），若b，c∈{1，2，3，4，5 6，7，8，9}．
（1）求方程x²+bx+c=0有实根的概率；
（2）求ζ的分布列和数学期望．

20. 难度：中等

数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+cn（c是不为零的常数，n=1，2，3，…），且a₁，a₂，a₃成等比数列．
（1）求c的值；
（2）求{a_n}的通项公式；
（3）设数列的前n项之和为T_n，求T_n．

21. 难度：中等

已知a∈R，函数f（x）=x²（x-a）．
（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的零点；
（Ⅱ）求函数y=f （x）在区间[1，2]上的最小值．

22. 难度：中等

已知二次函数，f（x）=x²+ax（a∈R）．
（1）若函数的最大值为，求f（x）的最小值；
（2）当a=2时，设n∈N*，，求证：＜S＜2；
（3）当a＞2时，求证f（sin²xlog2sin²x+cos²xlog2cos²x）≧1-a，其中x∈R，x≠kπ且x≠kπ+（k∈z）