2011年北京市门头沟区高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

等差数列{a_n}中，a₄=2，则S₇等于（ ）
A．7
B．3.5
C．14
D．28

3. 难度：中等

一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）

A．2
B．
C．
D．

4. 难度：中等

，为非零向量，“函数f（x）=（x+）²为偶函数”是“⊥”的（ ）
A．充分但不必要条件
B．必要但不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

设函数，则函数f（x）（ ）
A．在区间（0，1），（1，+∞）内均有零点
B．在区间（0，1），（1，+∞）内均无零点
C．在区间（0，1）内有零点，在区间（1，+∞）内无零点
D．在区间（0，1）内无零点，在区间（1，+∞）内有零点

6. 难度：中等

直线l：y=k（x-2）+2将圆C：x²+y²-2x-2y=0平分，则直线l的方向向量是（ ）
A．（2，-2）
B．（2，2）
C．（-3，2）
D．（2，1）

7. 难度：中等

一天有语文、数学、英语、物理、化学、生物、体育七节课，体育不在第一节上，数学不在第六、七节上，这天课表的不同排法种数为（ ）
A．A₇⁷-A₅⁵
B．A₄²A₅⁵
C．A₅¹A₆¹A₅⁵
D．A₆⁶+A₄¹A₅¹A₅⁵

8. 难度：中等

对于四面体ABCD，有如下命题
①棱AB与CD所在的直线异面；
②过点A作四面体ABCD的高，其垂足是△BCD的三条高线的交点；
③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高所在直线异面；
④分别作三组相对棱的中点连线，所得的三条线段相交于一点，
其中正确的是（ ）
A．①
B．②③
C．①④
D．①③

二、解答题

9. 难度：中等

极坐标方程ρ=2化为直角坐标方程是    ．

10. 难度：中等

把某校高三．5班甲、乙两名同学自高三以来历次数学考试得分情况绘制成茎叶图（如图），由此判断甲的平均分    乙的平均分．（填：＞，=或＜）

11. 难度：中等

如图，点P在圆O直径AB的延长线上，且PB=OB=2，PC切圆O于C点，CD⊥AB于D点，则PC=    ，CD=    ．

12. 难度：中等

设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x²+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为    ．

13. 难度：中等

已知函数f（x）=，若f（a²-2）＞f（a），则实数a的取值范围是    ．

14. 难度：中等

设S为非空数集，若∀x，y∈S，都有x+y，x-y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题
①实数集是封闭集；
②全体虚数组成的集合是封闭集；
③封闭集一定是无限集；
④若S为封闭集，则一定有0∈S；
⑤若S，T为封闭集，且满足S⊆U⊆T，则集合U也是封闭集，
其中真命题是    ．

15. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为，．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若f（x）=cos2x+csin²（x+B），求函数f（x）的最小正周期和单增区间．

16. 难度：中等

已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，且∠ABC=60°，PB=PD=AB=2，PA=PC，AC与BD相交于点O．
（Ⅰ）求证：PO⊥底面ABCD；
（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）若M是PB上的一点，且CM⊥PB，求的值．

17. 难度：中等

某商场进行促销活动，到商场购物消费满100元就可转动转盘（转盘为十二等分的圆盘）一次进行抽奖，满200元转两次，以此类推（奖金累加）；转盘的指针落在A区域中一等奖，奖10元，落在B、C区域中二等奖，奖5元，落在其它区域则不中奖．一位顾客一次购物消费268元，
（Ⅰ）求该顾客中一等奖的概率；
（Ⅱ）记ξ为该顾客所得的奖金数，求其分布列；
（Ⅲ）求数学期望Eξ（精确到0.01）．

18. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）求函数y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间和极值．

19. 难度：中等

如图，平行四边形AMBN的周长为8，点M，N的坐标分别为．
（Ⅰ）求点A，B所在的曲线方程；
（Ⅱ）过点C（-2，0）的直线l与（Ⅰ）中曲线交于点D，与Y轴交于点E，且l∥OA，求证：为定值．

20. 难度：中等

已知f_n（x）=（1+x）ⁿ，
（Ⅰ）若f₂₀₁₁（x）=a+a₁x+…+a₂₀₁₁x²⁰¹¹，求a₁+a₃+…+a₂₀₀₉+a₂₀₁₁的值；
（Ⅱ）若g（x）=f₆（x）+2f₇（x）+3f₈（x），求g（x）中含x⁶项的系数；
（Ⅲ）证明：．