2011年四川省眉山市高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|y=log₂（2x-1）}，B={y|y=（）^x}，则A∩B=（ ）
A．（0，]
B．[，1]
C．[0，]
D．（，1]

2. 难度：中等

i虚数单位，则=（ ）
A．-1
B．1
C．i
D．-i

3. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²-9n，若5＜a_k＜8，则a_k的值是（ ）
A．8
B．6
C．14
D．16

4. 难度：中等

椭圆（m＞1）上一点P到左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P到右准线的距离为（ ）
A．1
B．3
C．2
D．4

5. 难度：中等

7个人排成一排准备照一张合影，其中甲、乙要求相邻，丙、丁要求分开，则不同的排法有（ ）
A．480种
B．720种
C．960种
D．1200种

6. 难度：中等

已知sin（-α）=，则cos（+2α）=（ ）
A．-
B．-
C．-
D．

7. 难度：中等

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁与平面ACD₁所成角的正切值是（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

在锐角三角形ABC中，||=4，||=1，，△ABC的面积是，则•=（ ）
A．2或3
B．2或-2
C．3
D．2

9. 难度：中等

已知p：关于x的不等式|x-2|+|x+2|＞m的解集是R； q：关于x的不等式x²+mx+4＞0的解集是R．则p成立是q成立的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．即不充分也不必要条件

10. 难度：中等

已知点P为双曲线（a＞0，b＞0）右支上一点，F₁，F₂分别为双曲线的左、右焦点，I为△F₁PF₂的内心，若=2+（λ+1）成立，则λ的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

已知函数f（x）=（）•x（x≥0），下面正确表述的是（ ）
A．f（x）不存在，在x=1处不连续，在x=处连续
B．在x=1处连续
C．f（x）存在，在x=1处连续，在x=处不连续
D．在x=处不连续

12. 难度：中等

设f（x）是连续的偶函数，且当x＞0时f（x）是单调函数，则满足的所有x之和为（ ）
A．-3
B．3
C．-8
D．8

二、解答题

13. 难度：中等

若（x²+）ⁿ的展开式中，只有第四项的系数最大，那么这个展开式中的常数项的值是    ．（用数字作答）

14. 难度：中等

已知（x≥1），t=x²+y²，则t的最小值是    ．

15. 难度：中等

在半径为R的球内有一内接正三棱锥，其底面上的三个顶点恰好都在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点返回，则经过的最短路程是    ．

16. 难度：中等

已知函数，正实数a、b、c成公差为正数的等差数列，满足f （a） f （b） f （c）＜0，且实数d是方程f （x）=0的一个解．给出下列四个不等式：①d＜a，②d＞b，③d＜c，④d＞c，其中有可能成立的不等式的序号是     ．

17. 难度：中等

已知=（cosx，sinx），=（cosx，2cosx-sinx），f（x）=•+||，x∈（，π]．
（Ⅰ）求f（x）的最大值；
（Ⅱ）记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若f（B）=-1，a=c=2，求•．

18. 难度：中等

眉山市某中学有三位同学利用周末到东坡湖公园游玩，由于时间有限，三人商定在已圈定的10个娱乐项目中各自随机的选择一项体验（选择每个项目的可能性相同）
（Ⅰ）求三人中恰好有两人选择同一项目体验的概率；
（Ⅱ）若10个项目中包括了滑旱冰、激流勇进、划船项目，求三名同学选择这三个项目的人员个数ξ的分布列与数学期望．

19. 难度：中等

如图，多面体ABCDE中，四边形ABED是直角梯形，∠BAD=90°，DE∥AB，平面BAED^平面ACD，△ACD是边长为2a的正三角形，DE=2AB=2a，F是CD的中点
（Ⅰ）求证：AF⊥平面CDE；
（Ⅱ）求面ACD与面BCE所成二面角的大小．

20. 难度：中等

设椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率为，点A（0，a），B（-b，0），原点O到直线AB的距离为，P是椭圆的右顶点，直线l：x=my-n与椭圆M相交于C，D两点，且⊥．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）求证：直线l的横截距n为定值．

21. 难度：中等

对于数列{a_n}，规定{△a_n}为数列{a_n}的一阶差分数列，其中△a_n=a_n+1-a_n（n∈N*）；一般地，规定{△^ka_n}为数列{a_n}的k阶差分数列，其中△^ka_n=△^k-1a_n+1-△^k-1a_n，且k∈N*，k≥2．
（Ⅰ）已知数列{a_n}的通项公式a_n=n²-n（n∈N*），试证明{△a_n}是等差数列；
（Ⅱ）若数列{a_n}的首项a₁=1，且满足△²a_n-a_n+1+a_n=-2ⁿ（n∈N*），求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，记b_n=，求证：b₁++…+＜．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=（x-a²）e^x+e^-x-ax（x∈R，e=2.71828…是自然对数的底数），f′（0）=a．
（Ⅰ）求f′（ln2）；
（Ⅱ）证明：f（x）在（-∞，0]上为减函数，在[0，+∞）上为增函数；
（Ⅲ）记h（x）=f′（x）-f（x），求证：h（1）+h（2）+…+h（n）＜+1（n∈N*）．