2009年广东省湛江市高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知U={2，3，4，5，6，7}，M={3，4，5，7}，N={2，4，5，6}，则（ ）
A．M∩N={4，6}
B．M∪N=U
C．（∁_UN）∪M=U
D．（∁_UM）∩N=N

2. 难度：中等

若将复数表示为a+bi（a，b∈R，i是虚数单位）的形式，则的值为（ ）
A．-2
B．
C．2
D．

3. 难度：中等

如图，样本数为9的四组数据，它们的平均数都5，频率条形图如下，则标准差最大的一组是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前13项之和为39，则a₆+a₇+a₈等于（ ）
A．6
B．9
C．12
D．18

5. 难度：中等

已知函数f（x）=cossinx（x∈R），给出下列四个命题：
①若f（x₁）=-f（x₂）则x₁=-x₂
②f（x）的最小正周期是2π
③在区间[]上是增函数；
④f（x）的图象关于直线x=
其中真命题是（ ）
A．①②④
B．①③
C．②③
D．③④

6. 难度：中等

若过点A（3，0）的直线l与曲线（x-1）²+y²=1有公共点，则直线l斜率的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

命题p：∀x∈[0，+∞），（log₃2）^x≤1，则（ ）
A．p是假命题，￢p：∃x∈[0，+∞），（log₃2）^x＞1
B．p是假命题，￢p：∀x∈[0，+∞），（log₃2）^x＞1
C．p是真命题，￢p：∃x∈[0，+∞），（log₃2）^x＞1
D．p是真命题，￢p：∀x∈[0，+∞），（log₃2）^x≥1

8. 难度：中等

用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，则它的体积的最小值与最大值分别为（ ）
A．9与13
B．7与10
C．10与16
D．10与15

9. 难度：中等

某校高一年级一班数学单元测试全班所有学生成绩的频数分布直方图如图所示（满分100分，学生成绩取整数），则成绩在90.5～95.5这一分数段的频率是（ ）

A．0.3
B．0.4
C．0.5
D．0.6

10. 难度：中等

已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=3，P是AB上一点，则点P到AC，BC的距离乘积的最大值是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5

二、解答题

11. 难度：中等

抛物线y=4x²的焦点坐标是    ．

12. 难度：中等

若x，y满足约束条件，则z=2x-y的最大值为    ．

13. 难度：中等

已知某算法的流程图如图所示，若将输出的（x，y）值依次记为（x₁，y₁）（x₂，y₂），（x_n，y_n），
（1）若程序运行中输出的一个数组是（9，t），则t=   
（2）程序结束时，共输出（x，y）的组数为    

14. 难度：中等

在极坐标系中，若过点A（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线ρ=4cosθ于A、B两点，则|AB|=    ．

15. 难度：中等

如图，已知PA、PB是圆O的切线，A、B分别为切点，C为圆O上不与A、B重合的另一点，若∠ACB=120°，则∠APB=    ．

16. 难度：中等

在平面直角坐标系下，已知A（2，0），B（0，2），C（cos2x，sin2x），（0＜x＜），．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）求f（x）的最小正周期和值域．

17. 难度：中等

有两个不透明的口袋，每个口袋都装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1、2、3、4、5．
（Ⅰ）甲从其中一个口袋中摸出一个球，乙从另一个口袋摸出一个球，谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同则为平局），求甲获胜的概率；
（Ⅱ）摸球方法与（Ⅰ）同，若规定：两人摸到的球上所标数字相同甲获胜，所标数字不相同则乙获胜，这样规定公平吗？

18. 难度：中等

如图，平行四边形ABCD中，CD=1，∠BCD=60．，且BD⊥CD，正方形ADEF和平面ABCD成直二面角，G，H是DF，BE的中点．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面CDE；
（Ⅱ）求证：GH∥平面CDE；
（Ⅲ）求三棱锥D-CEF的体积．

19. 难度：中等

设y=f（x）为三次函数，且图象关于原点对称，当x=时，f（x）的极小值为-1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）证明：当x∈（1，+∞）时，函数f（x）图象上任意两点的连线的斜率恒大于0．

20. 难度：中等

已知直线l：y=x+1与曲线C：交于不同的两点A，B，O为坐标原点．
（Ⅰ）若|OA|=|OB|，求证：曲线C是一个圆；
（Ⅱ）若OA⊥OB，当a＞b且时，求曲线C的离心率e的取值范围．

21. 难度：中等

已知二次函数f（x）=x²-ax+a（x∈R）同时满足：①不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．设数列{a_n}的前n项和S_n=f（n）．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）在各项均不为零的数列{c_n}中，若ci•ci+1＜0，则称ci，ci+1为这个数列{c_n}一对变号项．令（n为正整数），求数列{c_n}的变号项的对数．