2011年江苏省连云港市东海高级中学高考数学三模试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

若集合M={x|x²-x≤0}，函数f（x）=log₂（1-|x|）的定义域为N，则M∩N=    ．

2. 难度：中等

设a∈R，（3+4i）（4+ai）是纯虚数，则a=    ．

3. 难度：中等

已知命题“∃x∈R，|x-a|+|x+1|≤2”是假命题，则实数a的取值范围是    ．

4. 难度：中等

一个算法的程序框图如图所示，若执行该程序输出的结果为，则判断框中应填入的条件是    ．

5. 难度：中等

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，sinC=2sinB，则A角大小为    ．

6. 难度：中等

若α、β是函数f（x）=lg²x-lgx²-2的两个零点，则log_αβ+log_βα的值为    ．

7. 难度：中等

如果过点（0，1）斜率为k的直线l与圆x²+y²+kx+my-4=0交于M、N两点，且M、N关于直线x+y=0对称，那么直线l的斜率k=    ；不等式组表示的平面区域的面积是    ．

8. 难度：中等

在一条公路上每隔10公里有一个仓库，共有5个仓库．一号仓库存有则10吨货物，二号仓库存有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的．现在要把所有的货物集中存放一个仓库里，若每吨货物运输1公里需要0.5元运输费，则最少需要的运费是    ．

9. 难度：中等

已知数列{a_n}等差数列，{b_n}为等比数列，且满足：a₁₀₀₀+a₁₀₁₂=π，b₁b₁₄=-2，则=    ．

10. 难度：中等

下列命题中，正确命题的序号为    ．
①经过空间任意一点都可作唯一一个平面与两条已知异面直线都平行；
②已知平面α，直线a和直线b，且a∩α=a，b⊥a，则b⊥α；
③有两个侧面都垂直于底面的四棱柱为直四棱柱；
④三棱锥中若有两组对棱互相垂直，则第三组对棱也一定互相垂直；
⑤三棱锥的四个面可以都是直角三角形．

11. 难度：中等

已知椭圆的左焦点F₁，O为坐标原点，点P在椭圆上，点Q在椭圆的右准线上，若则椭圆的离心率为    ．

12. 难度：中等

已知定义在R上的函数f（x），满足对任意a，b∈R，都有f（a+b²）=f（a）+2f²（b）成立，则f（2011）=    ．

13. 难度：中等

在△ABC中，已知a，b，c分别∠A，∠B，∠C所对的边，S为△ABC的面积，若向量，满足，则∠C=    ．

14. 难度：中等

设函数f（x）=e^x（sinx-cosx），若0≤x≤2011π，则函数f（x）的各极大值之和为    ．

15. 难度：中等

已知函数f（x）=sin（2x+φ）+1和g（x）=cos（2x+φ）．
（1）设x₁是f（x）的一个极大值点，x₂上g（x）的一个极小值点，求|x₁-x₂|的最小值；
（2）若f′（α）=g′（α），求的值．

16. 难度：中等

如图，所有棱长都为2的正三棱柱BCD-B′C′D′，四边形ABCD是菱形，其中E为BD的中点．
（1）求证：C′E∥面AB′D′；
（2）求证：面ACD′⊥面BDD′；
（3）求四棱锥B′-ABCD与D′-ABCD的公共部分体积．

17. 难度：中等

已知点P是圆x²+y²=1上一动点，点P在y轴上的射影为Q，设满足条件（λ为非零常数）的点M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）若存在过点的直线l与曲线C相交于A、B两点，且•=0（O为坐标原点），求λ的取值范围．

18. 难度：中等

如图，在一条河流的上、下游分别有甲、乙两家化工厂，其中甲厂每天向河道内排放污水2万m³，每天流过甲厂的河水流量是500万m³（含甲厂排放的污水）；乙厂每天向河道内排放污水1.4万m³，每天流过乙厂的河水流量是700万m³（含乙厂排放的污水）．由于两厂之间有一条支流的作用，使得甲厂排放的污水在流到乙厂时，有20%可自然净化．假设工厂排放的污水能迅速与河水混合，且甲厂上游及支流均无污水排放．
（1）求河流在经过乙厂后污水含量的百分比约是多少？（精确到0.01%）
（2）根据环保要求，整个河流中污水含量不能超过0.2%，为此，甲、乙两家工厂都必须各自处理一部分污水．已知甲厂处理污水的成本是1000元/万m³，乙厂处理污水的成本是1000元/万m³，求甲、乙两厂每天分别处理多少万m³污水，才能使两厂处理污水的总费用最少？最小总费用是多少元？

19. 难度：中等

已知数列{a_n}的通项公式为．
（1）若a₁，a₃，a₁₅成等比数列，求a的值；
（2）是否存在k（k≥3且k∈N），使得a₁，a₂，a_k成等差数列，若存在，求出常数a的值；若不存在，请说明理由；
（3）求证：数列中的任意一项a_n总可以表示成数列中其它两项之积．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=e^x+ax，g（x）=e^xlnx（e是自然对数的底数）．
（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线也是抛物线y²=4（x-1）切线，求a的值；
（2）若对于任意x∈R，f（x）＞0恒成立，试确定实数a的取值范围；
（3）当a=-1时，是否存在x∈（0，+∞），使曲线C：y=g（x）-f（x）在点x=x处的切线斜率与f（x）在R上的最小值相等？若存在，求符合条件的x的个数；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

如图，△ABC内接于圆⊙，点D是圆⊙上异于A、B、C三点的任意一点，过D点作DP⊥AB，DQ⊥BC，DR⊥AC，交AB、BC、AC分别为P，Q，R．
（1）求证：∠BDP=∠CDR；
（2）求证：P，Q，R三点共线．

22. 难度：中等

（4-2 矩阵与变换选做题）已知曲线C：y²-x²=2．
（1）将曲线C绕坐标原点顺时针旋转45°后，求得到的曲线C′的方程；
（2）求曲线C的焦点坐标和渐近线方程．

23. 难度：中等

过点作倾斜角为α的直线l与曲线x²+12y²=1交于点M，N．求|PM|•|PN|的最小值及相应的α的值．

24. 难度：中等

设a、b、c均为实数，求证：++≥++．

25. 难度：中等

如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱长为6的正方体，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE=BF．
（1）求证：A₁F⊥C₁E；
（2）当A₁、E、F、C₁共面时，求：
①D₁到直线C₁E的距离；
②面A₁DE与面C₁DF所成二面角的余弦值．

26. 难度：中等

某校举行环保知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛：答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰．已知选手甲答对每个问题的概率相同，并且相互之间没有影响，答题连续两次答错的概率为．
（1）求选手甲可进入决赛的概率；
（2）设选手甲在初赛中答题的个数为ξ，试求ξ的分布列，并求ξ的数学期望．