2011年江苏省南通市如皋中学高考数学模拟试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为01到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，现将50袋奶粉按编号顺序平均分成5组，用每组选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号，若第4组抽出的号码为36，则第1组中用抽签的方法确定的号码是    ．

2. 难度：中等

若复数z=1-mi（i为虚数单位，m∈R），若z²=-2i，则复数z的虚部为    ．

3. 难度：中等

若函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴的距离是π，则ω的值为    ．

4. 难度：中等

若双曲线焦点为（，0），渐近线方程为，则此双曲线的标准方程为    ．

5. 难度：中等

已知向量=（sin55°，sin35°），=（sin25°，sin65°），则向量与的夹角为     °．

6. 难度：中等

已知a，b，c是锐角△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，若a=3，b=4，△ABC的面积为3，则c=    ．

7. 难度：中等

作为对数运算法则：lg（a+b）=lga+lgb（a＞0，b＞0）是不正确的．但对一些特殊值是成立的，例如：lg（2+2）=lg2+lg2．那么，对于所有使lg（a+b）lga+lgb（a＞0，b＞0）成立的a，b应满足函数a=f（b）表达式为    ．

8. 难度：中等

两游客坐火车旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如图，则下列座位号码中符合要求的有     ．
①48，49        ②54，55        ③62，63
④75，76        ⑤84，85        ⑥96，97

9. 难度：中等

已知关于x的不等式 ＜2的解集为P，若1∉P，则实数a的取值范围为    ．

10. 难度：中等

已知集合Ω={（x，y）|x²+y²≤2009}，若点P（x，y）、点P′（x′，y′）满足x≤x′且y≥y′，则称点P优于P′．如果集合Ω中的点Q满足：不存在Ω中的其它点优于Q，则所有这样的点Q构成的集合为    ．

11. 难度：中等

若实数x、y满足4^x+4^y=2^x+1+2^y+1，则S=2^x+2^y的取值范围是    ．

12. 难度：中等

已知集合P={ x|x=2ⁿ，n∈N}，Q={ x|x=2n，n∈N}，将集合P∪Q中的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列{a_n}，则数列{a_n}的前20项之和S₂₀=    ．

13. 难度：中等

记集合T={0，1，2，3，4，5，6}，，将M中的元素按从大到小的顺序排列，则第2009个数是     ．

14. 难度：中等

已知抛物线y=g（x）经过点O（0，0）、A（m，0）与点P（m+1，m+1），其中m＞n＞0，b＜a，设函数f（x）=（x-n）g（x）在x=a和x=b处取到极值，则a，b，m，n的大小关系为    ．

15. 难度：中等

已知在等边三角形ABC中，点P为线段AB上一点，且．
（1）若等边三角形边长为6，且，求；
（2）若，求实数λ的取值范围．

16. 难度：中等

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BB₁，AC₁⊥平面A₁BD，D为AC的中点．
（1）求证：B₁C∥平面A₁BD；
（2）求证：B₁C₁⊥平面ABB₁A₁；
（3）设E是CC₁上一点，试确定E的位置使平面A₁BD⊥平面BDE，并说明理由．

17. 难度：中等

椭圆C：（a＞b＞0）的一个焦点F₁（-2，0），右准线方程x=8．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若M为右准线上一点，A为椭圆C的左顶点，连接AM交椭圆于点P，求的取值范围；
（3）设圆Q：（x-t）²+y²=1（t＞4）与椭圆C有且只有一个公共点，过椭圆C上一点B作圆Q的切线BS、BT，切点为S，T，求的最大值．

18. 难度：中等

在金融危机中，某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2009根．现将它们堆放在一起．
（1）若堆放成纵断面为正三角形（每一层的根数比上一层根数多1根），并使剩余的圆钢尽可能地少，则剩余了多少根圆钢？
（2）若堆成纵断面为等腰梯形（每一层的根数比上一层根数多1根），且不少于七层，
（Ⅰ）共有几种不同的方案？
（Ⅱ）已知每根圆钢的直径为10cm，为考虑安全隐患，堆放高度不得高于4m，则选择哪个方案，最能节省堆放场地？

19. 难度：中等

已知函数在（1，+∞）上是增函数．
（1）求实数a的取值范围；
（2）在（1）的结论下，设，求函数g（x）的最小值．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}，{b_n}满足a₁=2，2a_n=1+a_na_n+1，b_n=a_n-1，数列{b_n}的前n项和为S_n，T_n=S_2n-S_n．
（1）求证：数列为等差数列，并求通项b_n；
（2）求证：T_n+1＞T_n；
（3）求证：当n≥2时，．

21. 难度：中等

为了保证信息安全传输，设计一种密码系统，其加密、解密原理如下图：
现在加密方式为：把发送的数字信息X，写为“a₁₁a₂₁a₁₂a₂₂”的形式，先左乘矩阵A=，再左乘矩阵B=，得到密文Y，现在已知接收方得到的密文4，12，36，72，试破解该密码．

22. 难度：中等

以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为（1，-5），点M的极坐标为（4，）．若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心、4为半径．
（Ⅰ）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）试判定直线l和圆C的位置关系．

23. 难度：中等

在2009年春运期间，一名大学生要从南京回到徐州老家有两种选择，即坐火车或汽车．已知该大学生先去买火车票的概率是先去买汽车票概率的3倍，汽车票随时都能买到．若先去买火车票，则买到火车票的概率为0.6，买不到火车票，再去买汽车票．
（1）求这名大学生先去买火车票的概率；
（2）若火车票的价格为120元，汽车票的价格为280元，设该大学生购买车票所花费钱数为ξ，求ξ的数学期望值．

24. 难度：中等

已知抛物线，过其对称轴上一点作一直线交抛物线于A，B两点，若∠OBA=60°，求OB的斜率．