2011年高三数学复习（第8章 圆锥曲线）：8.9 解几何最值问题（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

双曲线=1的离心率e₁，双曲线=1的离心率为e₂，则e₁+e₂的最小值为（ ）
A．
B．2
C．
D．4

2. 难度：中等

以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，椭圆长轴的最小值为（ ）
A．
B．
C．2
D．

3. 难度：中等

已知双曲线x²-y²+1=0与抛物线y²=（k-1）x至多有两个公共点，则k的取值范围是（ ）
A．[-1，1）
B．（1，3]
C．[-1，3）
D．[-1，1）∪（1，3]

4. 难度：中等

若方程（5-k）x²+（|k|-2）y²=（5-k）（|k|-2）表示双曲线，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＜-2或2＜k＜5
B．-2＜k＜5
C．k＜-2或k＞5
D．-2＜k＜2或k＞5

5. 难度：中等

椭圆=1与圆（x-a）²+y²=9有公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A．|a|≤6
B．0＜a≤5
C．|a|＜5
D．a≤6

6. 难度：中等

已知A、B、C三点在曲线y=）上，其横坐标依次为1，m，4（1＜m＜4），当△ABC的面积最大时，m=（ ）
A．3
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知F₁（-3，0）、F₂（3，0）是椭圆+=1的两个焦点，P是椭圆上的点，当∠F₁PF₂=时，△F₁PF₂的面积最大，则有（ ）
A．m=12，n=3
B．m=24，n=6
C．m=6，n=
D．m=12，n=6

二、解答题

8. 难度：中等

设x，y满足，则k=（x-1）²+y²的最大值为    ，最小值为    ．

9. 难度：中等

方程x²+y²+kx+2y+k²=0表示的圆面积最大时，圆心坐标是     ．

10. 难度：中等

已知A（0，-4），B（3，2），抛物线y=x²上的点到直线AB的最短距离为    ．

11. 难度：中等

已知A（4，0），B（2，2）是椭圆内的点，M是椭圆上的动点，则MA+MB的最大值是   

12. 难度：中等

在椭圆=1上求一点，使它到直线y=x-9的距离最短．

13. 难度：中等

正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y²=4x上，一条对角线BD在直线x+2y-4=0上，求此正方形的边长．

14. 难度：中等

设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=，已知点P（0）到这个椭圆上的点最远距离是．求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标．

15. 难度：中等

已知双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点为F且斜率为的直线交双曲线C于A、B两点，若=4，则C的离心率为

16. 难度：中等

已知抛物线C：y=-x²+6，点P（2，4）、A、B在抛物线上，且直线PA、PB的倾斜角互补．
（1）证明：直线AB的斜率为定值．（2）当直线AB在y轴上的截距为正数时，求△PAB面积的最大值及此时直线AB的方程．

17. 难度：中等

在直线L：x-y+9=0上任取一点p以椭圆=1的焦点为焦点作椭圆．
（1）p在何处时，所求椭圆的长轴最短；
（2）求长轴最短的椭圆方程．

18. 难度：中等

在极坐标系中，圆p=2上的点到直线p（cosθ）=6的距离的最小值是     ．

19. 难度：中等

已知点P（3，4）是椭圆（a＞b＞0）上的一点，两个焦点为F₁，F₂，若PF₁⊥PF₂，试求椭圆的方程．

20. 难度：中等

已知抛物线C₁：y²=x+7，圆C₂：x²+y²=5．
（1）求证抛物线与圆没有公共点；
（2）过点P（a，0）作与x轴不垂直的直线l交C₁，C₂依次为A、B、C、D，若|AB|=|CD|，求实数a的变化范围．