2011年湖北省黄冈市高考数学交流试卷1（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知a，b∈R，若a+bi=（1+i）•i³（其中i为虚数单位），则（ ）
A．a=-1，b=1
B．a=-1，b=-1
C．a=1，b=-1
D．a=1，b=1

2. 难度：中等

命题p：若•＜0，则与的夹角为钝角；命题q：定义域为R的函数，在（-∞，0）与（0，+∞）上都是增函数，则在（-∞，+∞）上是增函数．则下列说法正确的是（ ）
A．“p且q”是假命题
B．“p且q”是真命题
C．p为假命题
D．非q为假命题

3. 难度：中等

设m、n是平面α内的两条不同直线，l₁，l₂是平面β内两条相交直线，则α⊥β的一个充分不必要条件是（ ）
A．l₁⊥m，l₁⊥n
B．m⊥l₁，m⊥l₂
C．m⊥l₁，n⊥l₂
D．m∥n，l₁⊥n

4. 难度：中等

已知向量，满足||=1，||=2，且与方向上的投影与在方向上的投影相等，则|-|等于（ ）
A．3
B．
C．
D．1

5. 难度：中等

双曲线一条渐近线的倾斜角为，离心率为e，则的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

如图，三行三列的方阵中有9个数a_ij（i=1，2，3；j=1，2，3），从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知等于（ ）
A．4022
B．0
C．2011
D．

8. 难度：中等

设M是△ABC内任一点，且=2，∠BAC=30°，设△MBC，△MAC，△MAB的面积分别x，y，z，且Z=，则在平面直角中坐标系中，以x，y为坐标的点（x，y）的轨迹图形是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

设O是坐标原点，点M的坐标为（2，1）．若点N（x，y）满足不等式组，则使得取得最大值时点N个数为（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．无数个

10. 难度：中等

方程=k（k＞0）有且仅有两个不同的实数解θ，φ（θ＞φ），则以下有关两根关系的结论正确的是（ ）
A．sinφ=φcosθ
B．sinφ=-φcosθ
C．cosφ=θsinθ
D．sinθ=-θsinφ

二、解答题

11. 难度：中等

我校在上次摸考中约有1000人参加考试，数学考试的成绩ξ～N（90，a²）（a＞0，试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次数学考试成绩不低于110分的学生约有     人．

12. 难度：中等

已知f（x）=|x+3|+|x-7|的最小值为m，则展开式中的常数项是    ．

13. 难度：中等

在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁内有一个内切球O，则过棱AA₁和BC的中点P、Q的直线与球面的交点为M、N，则M、N两点间的球面距离为    ．

14. 难度：中等

函数f（x）=2^x-1-lnx-a恰有两个不同的零点，则a的取值范围是    、

15. 难度：中等

在平面直角坐标系中，设点P（X，Y）定义[OP]=|x|+|y|，其中O为坐标原点，对于以下结论：①符合[OP]=1的点P的轨迹围成的图形的面积为2；
②设P为直线+2y-2=0上任意一点，则[OP]的最小值为1；
③设P为直线y=kx+b（k，b∈R）上的任意一点，则“使[OP]最小的点P有无数个”的必要不充分条件是“k=±1”；其中正确的结论有    （填上你认为正确的所有结论的序号）

16. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
（1）求的值；
（2）若，求角C和△ABC的面积．

17. 难度：中等

移动公司进行促销活动，促销方案为顾客消费1000元，便可获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为，中奖后移动公司返还顾客现金1000元，小李购买一台价格2400元的手机，只能得2张奖券，于是小李补偿50元给同事购买一台价格600元的小灵通（可以得到三张奖券），小李抽奖后实际支出为ξ（元）；
（1）求ξ的分布列；
（2）试说明小李出资50元增加1张奖券是否划算．

18. 难度：中等

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=4，CB=2，AA₁=2，∠ACB=60°，E、F分别是A₁C₁，BC的中点．
（1）证明：平面AEB⊥平面BB₁C₁C；
（2）证明：C₁F∥平面ABE；
（3）设P是BE的中点，求三棱锥P-B₁C₁F的体积．

19. 难度：中等

已知△ABC的三边长|CB|，|AB|，|CA|成等差数列，若点A，B的坐标分别为（-1，0），（1，0）．
（Ⅰ）求顶点C的轨迹W的方程；
（Ⅱ）若线段CA的延长线交轨迹W于点D，当时，求线段CD的垂直平分线l与x轴交点的横坐标的取值范围．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=aln（x+1）+（x+1）²
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a＞0时，若对任意x₁x_{2∈（-1，+∞）}，都有f（x₁-f（x₂）|≥3|x₁-x₂|，求a的取值范围、

21. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n=2•3ⁿ+k（k∈R，n∈N^*）
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足a_n=4，T_n为数列{b_n}的前n项和，试比较3-16T_n与 4（n+1）b_n+1的大小，并证明你的结论．