2010年北京市海淀区高考数学二模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={x|-3＜x≤5}，N={x|-5＜x＜5}，则M∩N=（ ）
A．{x|-5＜x＜5}
B．{x|-3＜x＜5}
C．{x|-5＜x≤5}
D．{x|-3＜x≤5}

2. 难度：中等

双曲线的焦距为（ ）
A．10
B．
C．
D．5

3. 难度：中等

已知a=（1，0），b=（x，1），若a•b=，则x的值为（ ）
A．
B．2
C．-1
D．

4. 难度：中等

已知直线l₁：x+y+1=0，l₂：x+y-1=0，则l₁，l₂之间的距离为（ ）
A．1
B．
C．
D．2

5. 难度：中等

函数y=sin（2x+）图象的对称轴方程可能是（ ）
A．x=-
B．x=-
C．x=
D．x=

6. 难度：中等

函数f（x）=|x-2|-lnx在定义域内零点的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

7. 难度：中等

从只装有4个红球的袋中随机摸出一球，若摸到白球的概率是p₁，摸到红球的概率是p₂，则（ ）
A．p₁=1，p₂=1
B．p₁=0，p₂=1
C．p₁=0，p₂=
D．p₁=p₂=

8. 难度：中等

已知直线l：y=-1，定点F（0，1），P是直线上的动点，若经过点F，P的圆与l相切，则这个圆面积的最小值为（ ）
A．
B．π
C．3π
D．4π

二、解答题

9. 难度：中等

曲线y=x³+x-2在点（1，0）处的切线的斜率为   

10. 难度：中等

某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示（如右图）．s₁，s₂分别表示甲、乙两班各自5名学生学分的标准差，则s₁    s₂．（填“＞”、“＜”或“=”）

11. 难度：中等

若某程序的框图如图，若输入的x的值为，则执行该程序后，输出的y值为    ．

12. 难度：中等

已知函数f（x）=1+tanx，若f（a）=3，则f（-a）=    ．

13. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_na_n+1=2ⁿ（n∈N^*），则a₉+a₁₀的值为    ．

14. 难度：中等

给定集合An={1，2，3，…，n}，n∈N^*．若f是An→An的映射，且满足：
（1）任取i，j∈An，若i≠j，则f（i）≠f（j）；
（2）任取m∈An，若m≥2，则有m∈{f（1），f（2），…，f（m）}．
则称映射f为An→An的一个“优映射”．
例如：用表1表示的映射f：A₃→A₃是一个“优映射”．
表1

i	1	2	3
f（i）	2	3	1

表2

i	1	2	3	4
f（i）		3

（1）已知f：A₄→A₄是一个“优映射”，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）；
（2）若f：A₂₀₁₀→A₂₀₁₀是“优映射”，且f（1004）=1，则f（1000）+f（1007）的最大值为    ．

15. 难度：中等

在△ABC内，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，a，b，c成等差数列，且a=2c．
（1）求cosA的值；
（2）若，求b的值．

16. 难度：中等

某园林局对1000株树木的生长情况进行调查，其中槐树600株，银杏树400株．现用分层抽样方法从这1000株树木中随机抽取100株，其中银杏树树干周长（单位：cm）的抽查结果如下表：

树干周长（单位：cm）	[30，40）	[40，50）	[50，60）	[60，70）
株数	4	18	x	6

（1）求x的值；
（2）若已知树干周长在30cm至40cm之间的4株银杏树中有1株患有虫害，现要对这4株树逐一进行排查直至找出患虫害的树木为止．求排查的树木恰好为2株的概率．

17. 难度：中等

在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ACC₁A₁⊥平面ABC，∠ACB=90°．
（1）求证：BC⊥AA₁．
（2）若M，N是棱BC上的两个三等分点，求证：A₁N∥平面AB₁M．

18. 难度：中等

若数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=pS_n+r（n∈N^*），p，r∈R，S_n为数列{a_n}的前n项和．
（1）当p=2，r=0时，求a₂，a₃，a₄的值；
（2）是否存在实数p，r，使得数列{a_n}为等比数列？若存在，求出p，r满足的条件；若不存在，说明理由．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=（ax-1）e^x，a∈R
（1）当a=1时，求函数f（x）的极值．
（2）若函数f（x）在区间（0，1）上是单调增函数，求实数a的取值范围．

20. 难度：中等

给定椭圆，称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到F的距离为．
（I）求椭圆C的方程和其“准圆”方程．（II）点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线l₁，l₂，使得l₁，l₂与椭圆C都只有一个交点，且l₁，l₂分别交其“准圆”于点M，N．
①当P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求l₁，l₂的方程；
②求证：|MN|为定值．