2010年江苏省南京市高三数学综合训练试卷（2）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知集合A={1，2，3}，B={2，a}，若A∪B={0，1，2，3}，则a的值为    ．

2. 难度：中等

若函数的最小正周期为π，则正实数a=    ．

3. 难度：中等

设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（3）+f（-2）=2，则f（2）-f（3）=    ．

4. 难度：中等

，，其中，则α+β=    ．

5. 难度：中等

已知双曲线C：的实轴长为2，离心率为2，则双曲线C的焦点坐标是     ．

6. 难度：中等

如图所示的流程图最后输出的n的值是    ．

7. 难度：中等

已知函数f（x）=log_ax（a＞0，a≠1），若f（2）＜f（3），则实数a的取值范围是    ．

8. 难度：中等

若数列{a_n}是各项均为正数的等比数列，则当时，数列{b_n}也是等比数列；类比上述性质，若数列{c_n}是等差数列，则当d_n=    时，数列{d_n}也是等差数列．

9. 难度：中等

i是虚数单位，若，则a+b的值是    ．

10. 难度：中等

通项公式为a_n=an²+n的数列{a_n}，若满足a₁＜a₂＜a₃＜a₄＜a₅，且a_n＞a_n+1对n≥8恒成立，则实数a的取值范围是    ．

11. 难度：中等

正三棱锥S-ABC中，AB=2，，D、E分别是棱SA、SB上的点，Q为边AB的中点，SQ⊥平面CDE，则三角形CDE的面积为     ．

12. 难度：中等

点（a，b）在两直线y=x-1和y=x-3之间的带状区域内（含边界），则f（a，b）=a²-2ab+b²+4a-4b的最小值为    ．

13. 难度：中等

等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，，AD是BC边上的高，P为AD的中点，点M、N分别为AB边和AC边上的点，且M、N关于直线AD对称，当时，=    ．

14. 难度：中等

已知实数x、s、t满足：8x+9t=s，且x＞-s，则的最小值为    ．

15. 难度：中等

如图，在底面为菱形的直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为A₁B₁、B₁C₁的中点，G为DF的中点；
（1）求证：EF⊥平面B₁BDD₁；
（2）求证：EG∥平面AA₁D₁D．

16. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对的对边长分别为a、b、c；
（Ⅰ）设向量，向量，向量，若，求tanB+tanC的值；
（Ⅱ）已知a²-c²=8b，且sinAcosC+3cosAsinC=0，求b．

17. 难度：中等

甲、乙两水池某时段的蓄水量随时间变化而变化，甲水池蓄水量（百吨）与时间t（小时）的关系是：f（t）=2+sint，t∈[0，12]，乙水池蓄水量（百吨）与时间t（小时）的关系是：g（t）=5-|t-6|，t∈[0，12]．问：何时甲、乙两水池蓄水量之和达到最大值？最大值为多少？
（参考数据：sin6≈-0.279）．

18. 难度：中等

已知椭圆C的方程为，点A、B分别为其左、右顶点，点F₁、F₂分别为其左、右焦点，以点A为圆心，AF₁为半径作圆A；以点B为圆心，OB为半径作圆B；若直线被圆A和圆B截得的弦长之比为；
（1）求椭圆C的离心率；
（2）己知a=7，问是否存在点P，使得过P点有无数条直线被圆A和圆B截得的弦长之比为；若存在，请求出所有的P点坐标；若不存在，请说明理由．

19. 难度：中等

已知各项均为整数的数列{a_n}满足：a₉=-1，a₁₃=4，且前12项依次成等差数列，从第11项起依次成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若存在正整数m、p使得：a_m+a_m+1+…+a_m+p=a_ma_m+1…a_m+p，请找出所有的有序数对（m，p），并证明你的结论．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=x（x-a）²，g（x）=-x²+（a-1）x+a（其中a为常数）；
（1）如果函数y=f（x）和y=g（x）有相同的极值点，求a的值；
（2）设a＞0，问是否存在，使得f（x）＞g（x），若存在，请求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
（3）记函数H（x）=[f（x）-1]•[g（x）-1]，若函数y=H（x）有5个不同的零点，求实数a的取值范围．

21. 难度：中等

已知在二阶矩阵M对应变换的作用下，四边形ABCD变成四边形A′B′C′D′，其中A（1，1），B（-1，1），C（-1，-1），A′（3，-3），B′（1，1），D′（-1，-1）．
（1）求出矩阵M；
（2）确定点D及点C′的坐标．

22. 难度：中等

已知边长为6的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，E，F为AD、CD上靠近D的三等分点，H为BB₁上靠近B的三等分点，G是EF的中点．
（1）求A₁H与平面EFH所成角的余弦值；
（2）设点P在线段GH上，且，试确定λ的值，使得C₁P的长度最短．