2011年江西省八所重点中学高三联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知（1+i）•z=-i，那么复数对应的点位于复平面内的（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

已知m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则“n⊥α”的一个充分不必要条件是（ ）
A．α∥β，n⊥β
B．α⊥β，n⊊β
C．α⊥β，n∥β
D．m∥α，n⊥m

3. 难度：中等

若二项式的展开式的第四项是，而第三项的二项式系数是15，则x的取值为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A．112
B．80
C．72
D．64

5. 难度：中等

已知实数a＞0，则∫^a（a²-x²）dx表示（ ）
A．以a为半径的球的体积的一半
B．以a为半径的球面面积的一半
C．以a为半径的圆的面积的一半
D．由函数y=a²-x²，坐标轴以及x=a所围成的图形的面积

6. 难度：中等

若四边形A₁A₂A₃A₄满足：，（），，则该四边形一定是（ ）
A．矩形
B．菱形
C．正方形
D．直角梯形

7. 难度：中等

将7个市三好学生名额分配给5个不同的学校，其中甲、乙两校至少各有两个名额，则不同的分配方案种数有（ ）
A．25
B．35
C．60
D．120

8. 难度：中等

已知函数f（x）的定义域为[-3，+∞），且f（6）=f（-3）=2．f′（x）为f（x）的导函数，f′（x）的图象如图所示．若正数a，b满足f（2a+b）＜2，则的取值范围是（ ）
A．（-，3）
B．（-∞，-）∪（3，+∞）
C．（，3）
D．（-∞，）∪（3，+∞）

9. 难度：中等

已知抛物线y²=2px（p＞0）与双曲线=1，（a＞0，b＞0）有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，若l为双曲线的一条渐近线，则l的倾斜角所在的区间可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

设函数f（x）在其定义域（0，+∞）上的取值不恒为0，且x＞0，y∈R时，恒有f（x^y）=yf（x）．若a＞b＞c＞1且a、b、c成等差数列，则f（a）f（c）与[f（b）]²的大小关系为（ ）
A．f（a）f（c）＜[f（b）]²
B．f（a）f（c）=[f（b）]²
C．f（a）f（c）＞[f（b）]²
D．不确定

二、解答题

11. 难度：中等

曲线y=ln（2x-1）上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是    ．

12. 难度：中等

已知△ABC的面积是30，其内角A、B、C所对边的长分别为a，b，c，且满足，c-b=1，则a=    ．

13. 难度：中等

图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A_1、A₂、…、A₁₀（如A₂表示身高（单位：cm）[150，155）内的学生人数）．图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm（含160cm，不含180cm））的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是   

14. 难度：中等

下列命题：
①命题p：∃x∈[-1，1]，满足x²+x+1＞a，使命题p为真的实数a的取值范围为a＜3；
②代数式的值与角α有关；
③将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象所对应的函数是奇函数；
④已知数列a_n满足：a₁=m，a₂=n，a_n+2=a_n+1-a_n（n∈N^*），记S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，则S₂₀₁₁=m；其中正确的命题的序号是     （把所有正确的命题序号写在横线上）．

15. 难度：中等

（考生注意：请在下列两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）
A．不等式选做题）不等式x+|2x-1|＜a的解集为φ，则实数a的取值范围是    ．
B．（坐标系与参数方程选做题）若直线3x+4y+m=0与曲线ρ²-2ρcosθ+4ρsinθ+4=0没有公共点，则实数m的取值范围是    ．

16. 难度：中等

已知O为坐标原点，其中
x∈R，a为常数，设函数．
（1）求函数y=f（x）的表达式和最小正周期；
（2）若角C为△ABC的三个内角中的最大角且y=f（C）的最小值为0，求a的值；
（3）在（2）的条件下，试画出y=f（x）（x∈[0，π]）的简图．

17. 难度：中等

设数列{a_n}（n∈N）满足a=0，a₁=2，且对一切n∈N，有a_n+2=2a_n+1-a_n+2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设 ，求T_n的取值范围．

18. 难度：中等

设不等式x²+y²≤4确定的平面区域为U，|x|+|y|≤1确定的平面区域为V．
（1）定义横、纵坐标为整数的点为“整点”，在区域U内任取3个整点，求这些整点中恰有2个整点在区域V的概率；
（2）在区域U内任取3个点，记这3个点在区域V的个数为X，求X的分布列和数学期望．

19. 难度：中等

已知四棱锥P-ABCD中PA⊥平面ABCD，且PA=4PQ=4，底面为直角梯形，
∠CDA=∠BAD=90°，，M，N分别是PD，PB的中点．
（1）求证：MQ∥平面PCB；
（2）求截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小；
（3）求点A到平面MCN的距离．

20. 难度：中等

已知椭圆C：，F₁，F₂为其左、右焦点，P为椭圆C上任一点，△F₁PF₂的重心为G，内心I，且有（其中λ为实数）
（1）求椭圆C的离心率e；
（2）过焦点F₂的直线l与椭圆C相交于点M、N，若△F₁MN面积的最大值为3，求椭圆C的方程．

21. 难度：中等

已知函数f（x）满足2f（x+2）=f（x），当，当x∈（-4，-2）时，f（x）的最大值为-4．
（1）求x∈（0，2）时函数f（x）的解析式；
（2）是否存在实数b使得不等式对于x∈（0，1）∪（1，2）时恒成立，若存在，求出实数 b的取值集合，若不存在，说明理由．