2011年吉林省长春市高三第一次调研数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知复数（i是虚数单位），是z的共轭复数，则=（ ）
A．1
B．0
C．-1
D．2

2. 难度：中等

已知集合，则M∩N=（ ）
A．∅
B．{x|x＞0}
C．{x|x＜1}
D．{x|0＜x＜1}

3. 难度：中等

已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下面四个命题，其中正确命题是
①α∥β⇒l⊥m
②α⊥β⇒l∥m
③l∥m⇒α⊥β
④l⊥m⇒α∥β
A．①与②
B．①与③
C．②与④
D．③与④

4. 难度：中等

若，则的值为（ ）
A．
B．-
C．
D．

5. 难度：中等

如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的体积为（ ）

A．π
B．π
C．π
D．

6. 难度：中等

平面向量与的夹角为60°，=（2，0），|+2|=，则||=（ ）
A．
B．1
C．2
D．

7. 难度：中等

如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的高度，则H与下落时间t（分）的函数关系表示的图象只可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

设F₁，F₂是双曲线-y²=1的两个焦点，点P在双曲线上，且•=0，则||•||的值等于（ ）
A．2
B．2
C．4
D．8

9. 难度：中等

已知的最小值是2，则a=（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

10. 难度：中等

函数的最小正周期为π，若其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f（x）的图象（ ）
A．关于点对称
B．关于点对称
C．关于直线对称
D．关于直线对称

11. 难度：中等

已知直线y=x-2与圆x²+y²-4x+3=0及抛物线y²=8x的四个交点从上到下依次为A、B、C、D四点，则|AB|+|CD|=（ ）
A．12
B．14
C．16
D．18

12. 难度：中等

已知函数f（x）=ln（x+1），x∈（0，+∞），下列结论错误的是（ ）
A．∀x₁，x₂∈（0，+∞），（x₂-x₁）[f（x₂）-f（x₁）]≥0
B．∀x₁∈（0，+∞），∃x₂∈（0，+∞），x₂f（x₁）＞x₁f（x₂）
C．∀x₁∈（0，+∞），∃x₂∈（0，+∞），f（x₂）-f（x₁）＜x₂-x₁
D．∃x₁，x₂∈（0，+∞），

二、解答题

13. 难度：中等

阅读下列程序框图，该程序输出的结果是    ．

14. 难度：中等

已知2m+n=1，m＞0，n＞0，则的最小值为    ．

15. 难度：中等

若，则的展开式中常数项为    ．

16. 难度：中等

“三角形的三条中线交于一点，且这一点到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍”试类比：四面体的四条中线（顶点到对面三角形重心的连线段）交于一点，且这一点到顶点的距离等于它到对面重心距离的    倍．

17. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n且满足a₂=3，S₆=36．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}是等比数列且满足b₁+b₂=3，b₄+b₅=24．设数列{a_n•b_n}的前n项和为T_n，求T_n．

18. 难度：中等

如图，一人在C地看到建筑物A在正北方向，另一建筑物B在北偏西45°方向，此人向北偏西75°方向前进km到达D处，看到A在他的北偏东45°方向，B在北偏东75°方向，试求这两座建筑物之间的距离．

19. 难度：中等

已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且，M是PB的中点．
（1）求AC与PB所成的角的余弦值；
（2）求二面角P-AC-M的余弦值；
（3）在棱PC上是否存在点N，使DN∥平面AMC，若存在，确定点N位置；若不存在，说明理由．

20. 难度：中等

已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，且短轴长为2．
（1）求椭圆的方程；
（2）若与两坐标轴都不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，且，，求直线l的方程．

21. 难度：中等

已知函数，（其中a∈R，e为自然对数的底数
（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程；
（2）当x≥1时，若关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

22. 难度：中等

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，过点D作AC的平行线DE，交BA的延长线于点E．
求证：（1）△ABC≌△DCB；
（2）DE•DC=AE•BD．

23. 难度：中等

设过原点O的直线与圆C：（x-1）²+y²=1的一个交点为P，点M为线段OP的中点．
（1）求圆C的极坐标方程；
（2）求点M轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线．

24. 难度：中等

解不等式|x²-3x-4|＞x+1．