2011年广东省湛江市遂溪县高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若集合，，那么M∩P=（ ）
A．[0，+∞）
B．（0，+∞）
C．（1，+∞）
D．[1，+∞）

2. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，已知a₁a₃a₁₁=8，那么a₂a₈等于（ ）
A．4
B．6
C．12
D．16

3. 难度：中等

在△ABC中，∠C=90°，，则k的值是（ ）
A．5
B．-5
C．
D．

4. 难度：中等

某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：每一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；…第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班人数的百分比为x，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y，则从频率分布直方图中可以分析出x和y分别为（ ）

A．0.9，35
B．0.9，45
C．0.1，35
D．0.1，45

5. 难度：中等

已知α，β为互不重合的平面，m，n为互不重合的直线，给出下列四个命题：
①若m⊥α，n⊥α，则m∥n；
②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，，则 α∥β；
③若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；
④若m⊥α，α⊥β，m∥n，则n∥β．其中所有正确命题的序号是（ ）
A．①③
B．②④
C．①④
D．③④

6. 难度：中等

已知α∈（，π），sinα=，则等于（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

设抛物线x²=12y的焦点为F，经过点P （2，1）的直线 l与抛物线相交于A、B两点且点P恰为AB的中点，则|AF|+|BF|=（ ）
A．10
B．8
C．6
D．4

8. 难度：中等

若直线y=kx+1与圆x²+y²+kx+my-4=0交于M，N两点，且M，N关于直线x-y=0对称，动点P（a，b）在不等式组表示的平面区域内部及边界上运动，则的取值范围是（ ）
A．[2，+∞）
B．（-∞，-2]
C．[-2，2]
D．（-∞，-2]∪[2，+∞）

二、解答题

9. 难度：中等

定义运算，复数z满足，则|z+1-3i|=    ．

10. 难度：中等

展开式中，常数项是    ．

11. 难度：中等

=    ．

12. 难度：中等

抛掷3个骰子，当至少有一个5点或一个6点出现时，就说这次试验成功，则在54次试验中成功次数n的期望为    ．

13. 难度：中等

已知函数f（x）=-1的定义域是[a，b]（a，b∈Z），值域是[0，1]，则满足条件的整数数对（a，b）共有    个．

14. 难度：中等

（极坐标与参数方程选做题） 极坐标方程为 ρ=2cosθ的园与参数方程为的直线位置关系是    ．

15. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）一个等腰三角形ABC的底边AC的长为6，△ABC的外接圆的半径长为5，则△ABC的面积是    ．

16. 难度：中等

函数的图象上一个最高点的坐标为 ，与之相邻的一个最低点的坐标为 ．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ） 当，求函数f（x）的单调递增区间和零点．

17. 难度：中等

某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客每消费500元便得到抽奖券一张，每张抽奖券的中奖概率为，若中奖，商场返回顾客现金100元．某顾客现购买价格为2300的台式电脑一台，得到奖券4张．
（Ⅰ）设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为ξ，求ξ的分布列；
（Ⅱ）设该顾客购买台式电脑的实际支出为η（元），用ξ表示η，并求η的数学期望．

18. 难度：中等

如图，五面体A-BCC₁B₁中，AB₁=4．底面ABC 是正三角形，AB=2．四边形BCC₁B₁是矩形，二面角A-BC-C₁为直二面角．
（Ⅰ）D在AC上运动，当D在何处时，有AB₁∥平面BDC₁，并且说明理由；
（Ⅱ）当AB₁∥平面BDC₁时，求二面角C-BC₁-D余弦值．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=（a、b为常数且a≠0）满足f（2）=1且f（x）=x有唯一解．
（1）求f（x）的表达式；
（2）记x_n=f（x_n-1）（n∈N且n＞1），且x₁=f（1），求数列{x_n}的通项公式．
（3）记 y_n=x_n•x_n+1，数列{y_n}的前n项和为S_n，求证S_n＜．

20. 难度：中等

已知函数，（a≠0，a∈R）
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当a＞0时，若存在x使得f（x）≥ln（2a）成立，求a的取值范围．

21. 难度：中等

已知双曲线 2x²-2y²=1的两个焦点为F₁，F₂，P为动点，若|PF₁|+|PF₂|=4．
（Ⅰ）求动点P的轨迹E的方程；
（Ⅱ）求cos∠F₁PF₂的最小值；
（Ⅲ）设点M（-2，0），过点N（，0）作直线l交轨迹E于A、B两点，判断∠AMB的大小是否为定值？并证明你的结论．