2011年广东省高考数学模拟冲刺试卷（二）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若复数（a∈R，i为虚数单位位）是纯虚数，则实数a的值为（ ）
A．-2
B．4
C．-6
D．6

2. 难度：中等

（文）公差不为零的等差数列第2、3、6项构成等比数列，则公比为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

3. 难度：中等

若集合M={x|x²-x≤0}，函数f（x）=log₂（1-|x|）的定义域为N，则M∩N=（ ）
A．[0，1）
B．（0，1）
C．[0，1]
D．（-1，0]

4. 难度：中等

已知函数y=Asin（ωx+φ）+b的一部分图象如图所示，如图A＞0，ω＞0，|φ|＜，则（ ）

A．φ=
B．φ=
C．φ=
D．φ=

5. 难度：中等

设a∈R，函数f（x）=e^x+a•e^-x的导函数是f′（x），且f′（x）是奇函数．若曲线y=f（x）的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为（ ）
A．ln2
B．-ln2
C．
D．

6. 难度：中等

在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于H，记、分别为、，则=（ ）
A．-
B．+
C．-+
D．--

7. 难度：中等

某市进行一次高三教学质量抽样检测，考试后统计所有考生的数学成绩服从正态分布．已知数学成绩平均分为90分，60分以下的人数占5%，则数学成绩在90分至120分之间的考生人数所占百分比约为（ ）
A．10%
B．15%
C．30%
D．45%

8. 难度：中等

某农科院在3×3的9块试验田中选出3块种植某品种水稻进行试验，则每行每列都有一块试验田种植水稻的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

若（5+4x）ⁿ展开式中各项二项式系数之和为a_n，展开式中各项系数之和为b_n，则=（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

由0到9这十个数字所组成的没有重复数字的五位数中，满足千位、百位、十位上的数字成递增等差数列的五位数共有（ ）
A．720个
B．684个
C．648个
D．744个

11. 难度：中等

直线l交椭圆4x²+5y²=80于M、N两点，椭圆的上顶点为B点，若△BMN的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线l的方程是（ ）
A．5x+6y-28=0
B．5x-6y-28=0
C．6x+5y-28=0
D．6x-5y-28=0

12. 难度：中等

已知|2x-y+m|＜3表示的平面区域包含点（0，0）和（-1，1），则m的取值范围是（ ）
A．（-3，6）
B．（0，6）
C．（0，3）
D．（-3，3）

13. 难度：中等

如图，下列四个几何体中，它们的三视图（正视图、侧视图、俯视图）有且仅有两个相同的是（ ）
（1）棱长为2的正方体             （2）底面直径和高均为2的圆柱

（3）底面直径和高均为2的圆锥          （4）长、宽、高分别为2、3、4的长方体
A．（1）（2）
B．（1）（3）
C．（2）（3）
D．（1）（4）

二、解答题

14. 难度：中等

设函数f（x）=，则函数y=f（x）的零点是    ．

15. 难度：中等

一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有1，2，3，4这四个数字．若连续两次抛掷这个玩具，则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是    ．

16. 难度：中等

（理）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则△ABC的面积等于    ．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+2|x|-15，定义域是[a，b]（a，b∈Z），值域是[-15，0]，则满足条件的整数对（a，b）有    对．

18. 难度：中等

设复数z=-3cosθ+2isinθ
（1）当时，求|z|的值；
（2）若复数z所对应的点在直线x+3y=0上，求的值．

19. 难度：中等

若四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD（如图），且．
（1）求异面直线PD与BC所成角的大小；
（2）求四棱锥P-ABCD的体积．

20. 难度：中等

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是矩形，D₁C⊥平面ABCD，AB=1，BC=D₁C=2，E为A₁C的中点．
（1）求证：直线C₁C∥平面BDE；
（2）求二面角E-BD-C的正切值．

21. 难度：中等

已知F₁，F₂分别是椭圆的左右焦点，已知点，满足，设A、B是上半椭圆上满足的两点，其中．
（1）求此椭圆的方程；
（2）求直线AB的斜率的取值范围．

22. 难度：中等

为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．

23. 难度：中等

（文）已知点P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂），…，P_n（a_n，b_n）（n为正整数）都在函数y=a^x（a＞0，a≠1）的图象上，其中{a_n}是以1为首项，2为公差的等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式，并证明数列{b_n}是等比数列；
（2）设数列{b_n}的前n项的和S_n，求；
（3）设Q_n（a_n，0），当时，问△OP_nQ_n的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

24. 难度：中等

某企业投资1000万元于一个高科技项目，每年可获利25%，由于企业间竞争激烈，每年底需要从利润中取出资金100万元进行科研投入，方能保持原有的利润增长率，问经过多少年后，该项目的资金（在扣除100万元的科研投入后）可以达到或超过翻两番（4倍）的目标？
（参考数据：1.25⁷=4.77，1.25⁸=5.96，1.25⁹=7.45，1.25¹⁰=9.31）

25. 难度：中等

（理）已知函数，实数a∈R且a≠0．
（1）设mn＞0，判断函数f（x）在[m，n]上的单调性，并说明理由；
（2）设0＜m＜n且a＞0时，f（x）的定义域和值域都是[m，n]，求n-m的最大值；
（3）若不等式|a²f（x）|≤2x对x≥1恒成立，求a的范围．

26. 难度：中等

已知函数f（x）=e^2x-2tx，．
（1）求f（x）在区间[0，+∞）的最小值；
（2）求证：若t=1，则不等式g（x）≥对于任意的x∈[0，+∞）恒成立；
（3）求证：若t∈R，则不等式f（x）≥g（x）对于任意的x∈R恒成立．