2011年陕西省西安市西工大附中高考数学三模试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数的实部为（ ）
A．0
B．1
C．-1
D．不存在

2. 难度：中等

长方体的三条棱长分别为，则此长方体外接球的体积与面积之比为（ ）
A．
B．1
C．2
D．

3. 难度：中等

（1+cosx）dx等于（ ）
A．π
B．2
C．π-2
D．π+2

4. 难度：中等

已知2sinαtanα=3，则sin⁴α-cos⁴α的值是（ ）
A．-7
B．
C．
D．

5. 难度：中等

一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所，则该几何体的俯视图为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

设的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M-N=240，则展开式中x³的系数为（ ）
A．-150
B．150
C．-500
D．500

7. 难度：中等

将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组3人，另两组2人，不同的分组数为a，甲、乙分到同一组的概率为p，则a、p的值分别为（ ）
A．a=105 p=
B．a=105 p=
C．a=210 p=
D．a=210 p=

8. 难度：中等

已知：函数f（x）的定义域为[-2，+∞），且f（4）=f（-2）=1，f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示，则，所围成的平面区域的面积是（ ）
A．2
B．4
C．5
D．8

9. 难度：中等

一动圆与圆O：x²+y²=1外切，而与圆C：x²+y²-6x+8=0内切，那么动圆的圆心的轨迹是（ ）
A．双曲线的一支
B．椭圆
C．抛物线
D．圆

10. 难度：中等

已知定义域为R的函数f（x）=，若关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有3个不同的实根x₁，x₂，x₃，则x₁²+x₂²+x₃²等于（ ）
A．13
B．
C．5
D．

二、解答题

11. 难度：中等

执行右图所示的程序框图，输出结果y的值是    ．

12. 难度：中等

已知命题p：∃x∈R，x²+2ax+a≤0．若命题p是假命题，则实数a的取值范围是    ．

13. 难度：中等

已知椭圆x²+ky²=3k（k＞0）的一个焦点与抛物线y²=12x的焦点重合，则该椭圆的离心率是    ．

14. 难度：中等

给出以下四个命题：
①若，则；
②简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的共同特点是：抽样过程中每个个体被抽到的机会均等；
③正弦函数y=sinx在第一象限是增函数；
④若数列a_n=n²+λn（n∈N₊）为单调递增数列，则λ取值范围是λ＞-3；
其中正确命题的序号为    ．（写出所有你认为正确的序号）

15. 难度：中等

A．不等式的解集是    ．
B．如图，AB是⊙O的直径，P是AB延长线上的一点，过P作⊙O的切线，切点为CPC=2，若∠CAP=30°，则⊙O的直径AB=    ．
C．（极坐标系与参数方程选做题）若圆C：与直线x-y+m=0相切，则m=    ．

16. 难度：中等

在△ABC中，设A、B、C的对边分别为a、b、c，向量=（cosA，sinA），=（），若||=2．（1）求角A的大小；（2）若的面积．

17. 难度：中等

某种项目的射击比赛，开始时选手在距离目标100m处射击，若命中则记3分，且停止射击．若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但需在距离目标150m处，这时命中目标记2分，且停止射击．若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时需在距离目标200m处，若第三次命中则记1分，并停止射击．若三次都未命中则记0分，并停止射击．已知选手甲的命中率与目标的距离的平方成反比，他在100m处击中目标的概率为，且各次射击都相互独立．
（Ⅰ）求选手甲在三次射击中命中目标的概率；
（Ⅱ）设选手甲在比赛中的得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

18. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，PA⊥平面ABCD，AC⊥AB，AB=PA，点E是PD上的点，且（0＜λ≤1）．
（Ⅰ） 求证：PB⊥AC；
（Ⅱ） 求λ的值，使PB∥平面ACE；
（Ⅲ）当λ=1时，求二面角E-AC-B的大小．

19. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的公差大于0，且a₃，a₅是方程x²-14x+45=0的两根，数列{b_n}的前n项的和为S_n，且．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）记c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

20. 难度：中等

如图所示，在△ABC中，，，M在y轴上，且，C在x轴上移动．
（Ⅰ）求点B的轨迹E的方程；
（Ⅱ）过点的直线l交轨迹E于H，G两点（H在F，G之间），若，求直线l的斜率．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=alnx，g（x）=x²，记F（x）=g（x）-f（x）
（Ⅰ）求F（x）的单调区间；
（Ⅱ）当时，若x≥1，比较：g（x-1）与的大小；
（Ⅲ）若F（x）的极值为，问是否存在实数k，使方程有四个不同实数根？若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由．