2011年辽宁省大连市高三双基测试数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知的值为（ ）
A．3
B．-3
C．4
D．-4

2. 难度：中等

已知全集U=R，集合M={y|y=x²-1}，x∈R，集合，则（C_uM）∩N=（ ）
A．（-2，-1）
B．[-2，-1）
C．[-2，1）
D．[-2，1]

3. 难度：中等

关于直线a、b，以及平面M、N，给出下列命题：
①若a∥M，b∥M，则a∥b；
②若a∥M，b⊥M，则a⊥b；
③若a∥b，b∥M，则a∥M；
④若a⊥M，a∥N，则M⊥N．
其中正确命题的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

4. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，若的值为（ ）
A．4
B．2
C．-2
D．-4

5. 难度：中等

给定性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x=对称．则下列四个函数中，同时具有性质①②的是（ ）
A．y=sin（+）
B．y=sin（2x+）
C．y=sin|x|
D．y=sin（2x-）

6. 难度：中等

将A、B、C、D、E、F六位同学排成一排，要求A、B、C、D在排列中顺序为“A、B、C、D”或“D、C、B、A”（可以不相邻），则排列的种数为（ ）
A．20
B．30
C．40
D．60

7. 难度：中等

已知函数，则函数f（x）-lnx的零点个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

8. 难度：中等

如图，点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，则PA与BD所成角的度数为（ ）

A．30°
B．45°
C．60°
D．90°

9. 难度：中等

下列说法正确的是（ ）
A．命题：“已知函数f（x），若f（x+1）与f（x-1）均为奇函数，则f（x）为奇函数，”为直命题
B．“x＞1”是“|x|＞1”的必要不充分条件
C．若“p且q”为假命题，则p，q均为假命题
D．命题p：”∃x∈R，使得x²+x+1＜0”，则¬p：”∀x∈R，均有x²+x+1≥0”

10. 难度：中等

已知M（a，2）是抛物线y²=2x上的一点，直线MP、MQ分别与抛物线交于P、Q两点，且直线MP、MQ的倾斜角之和为π，则直线PQ的斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

P为双曲线右支上一动点，M、N分别是圆（x+4）²+y²=4和圆（x-4）²+y²=1上的点，则|PM|-|PN|的最大值为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．4

12. 难度：中等

已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，且（a＞0，且a≠1），f'（x）g（x）＜f（x）g'（x），，则a的值为（ ）
A．2
B．
C．
D．

二、解答题

13. 难度：中等

执行图所示的框图，如果输入N=4，则输出的结果等于    ．

14. 难度：中等

如图，利用随机模拟的方法可以估计图中由曲线与两直线x=2及y=0所围成的阴影部分的面积S：
①先产生两组0～1的均匀随机数，a=rand （ ），b=rand （ ）；
②做变换，令x=2a，y=2b；（3）产生N个点（x，y），并统计满足条件的点（x，y）的个数N₁，已知某同学用计算器做模拟试验结果，当N=1000时，N₁=332，则据此可估计S的值为    ．

15. 难度：中等

设面积为S的平面四边形的第i条边的边长为a_i（i=1，2，3，4），P是该四边形内一点，点P到第i条边的距离记为，类比上述结论，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为S_i（i=1，2，3，4），Q是该三棱锥内的一点，点Q到第i个面的距离记为d_i，若等于    ．

16. 难度：中等

已知等差数列a_n的首项a₁及公差d都是整数，前n项和为S_n，若a₁＞1，a₄＞3，S₃≤9，设b_n=2ⁿa_n，则b₁+b₂+…+b_n的结果为    ．

17. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为．
（Ⅰ）求cosB的值；
（Ⅱ）若的值．

18. 难度：中等

某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，且每次遇到红灯的概率都是，每次遇到红灯时停留的时间都是1min．
（Ⅰ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是2min的概率；
（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间X的分布列及期望．

19. 难度：中等

如图所示是一个几何体的直观图及它的三视图（其中主视图为直角梯形，俯视图为正方形，左视图为直角三角形，尺寸如图所示）．

（Ⅰ）求四棱锥P-ABCD的体积；
（Ⅱ）求二面角E-PC-D的大小．

20. 难度：中等

已知椭圆的离心率为．
（Ⅰ）过椭圆C的右焦点F且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦 长为1，求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设经过椭圆C右焦点F的直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于点P，且，求λ₁+λ₂的值．

21. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）当a＜0时，若∃x＞0，使f（x）≤0成立，求a的取值范围；
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-（a+1）x，a∈（1，e]，证明：对∀x₁，x₂∈[1，a]，恒有|g（x₁）-g（x₂）|＜1．

22. 难度：中等

如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，AD⊥CE，垂足为D，AC平分∠BAD．
（Ⅰ）求证：直线CE是⊙O的切线；
（Ⅱ）求证：AC²=AB•AD．

23. 难度：中等

（选做题）选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，直线l的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程为（α为参数），若直线l与曲线C交于A，B两点，求线段AB的长．

24. 难度：中等

（选做题）选修4-5：不等式选讲
已知|x₁-2|＜1，|x₂-2|＜1．
（Ⅰ）求证：|x₁-x₂|＜2；
（Ⅱ）若f（x）=x²-x+1，求证：|x₁-x₂|≤|f（x₁）-f（x₂）|≤5|x₁-x₂|．