2011年浙江省三校高三联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数=（ ）
A．-3-4i
B．-3+4i
C．3-4i
D．3+4i

2. 难度：中等

已知实数a，b，则“ab≥2”是“a²+b²≥4”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

阅读右面的程序框图，则输出的k=（ ）

A．4
B．5
C．6
D．7

4. 难度：中等

从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被3整除的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若a∥b，a∥α，则b∥α
B．若α⊥β，a∥α，则a⊥β
C．若α⊥β，a⊥β，则a∥α
D．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β

6. 难度：中等

若实数x，y满足不等式组且x+y的最大值为9，则实数m=（ ）
A．-2
B．-1
C．1
D．2

7. 难度：中等

若sinα+cosα=tanα（0＜α＜），则α所在的区间（ ）
A．（0，）
B．（，）
C．（，）
D．（，）

8. 难度：中等

已知0＜a＜1，则方程a^|x|=|log_ax|的实根个数为n，且（x+1）ⁿ+（x+1）¹¹=a+a₁（x+2）+a₂（x+2）²+…+a₁₀（x+2）¹⁰+a_n（x+2）ⁿ，则a₁（ ）
A．9
B．-10
C．11
D．-12

9. 难度：中等

设点P是双曲线与圆x²+y²=a²+b²在第一象限的交点，F₁，F₂分别是双曲线的左、右焦点，且|PF₁|=2|PF₂|，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知f（x）是定义在[a，b]上的函数，其图象是一条连续的曲线，且满足下列条件：
①f（x）的值域为G，且G⊆[a，b]；
②对任意的x，y∈[a，b]，都有|f（x）-f（y）|＜|x-y|．
那么，关于x的方程f（x）=x在区间[a，b]上根的情况是（ ）
A．没有实数根
B．有且仅有一个实数根
C．恰有两个实数根
D．有无数个不同的实数根

二、解答题

11. 难度：中等

设，是两个非零向量，且||=||=|+|，则向量与-的夹角为    ．

12. 难度：中等

一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为    ．

13. 难度：中等

随机变量ξ的分布列如下：

ξ	-1		1
P	a	b	c

其中a，b，c成等差数列，若．则Dξ的值是    ．

14. 难度：中等

过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线准线的交点为B，点A在抛物线准线上的射影为C，若=，•=48，则p的值为    ．

15. 难度：中等

把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{a_n}，若a_n=2011，则n=    ．

16. 难度：中等

若1，2，3，4，5的排列a₁，a₂，a₃，a₄，a₅具有性质：对于1≤i≤4，a₁，a₂…a_i不构成1，2，…，i的某个排列，则这种排列的个数是    ．

17. 难度：中等

如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E为DC边的中点，沿AE将△ADE折起，使二面角D-AE-B为60°，则直线AD与面ABCE所成角的正弦值为    ．

18. 难度：中等

已知向量．
（I）若，求COS（-x）的值；
（II）记，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a-c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=1，，且，{b_n}为等比数列．
（Ⅰ）求实数λ及数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若S_n是数列{a_n}的前n项和，求S_n．

20. 难度：中等

如图，多面体EF-ABCD中，ABCD是梯形，AB∥CD，ACFE是矩形，面ACFE⊥面ABCD，AD=DC=CB=AE=a，∠ACB=．
（1）若M是棱EF上一点，AM∥平面BDF，求EM；
（2）求二面角B-EF-D的平面角的余弦值．

21. 难度：中等

设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左．右焦点分别为F₁F₂，上顶点为A，过点A与AF₂垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且2+=．
（1）若过A．Q．F₂三点的圆恰好与直线l：x-y-3=0相切，求椭圆C的方程；
（2）在（1）的条件下，过右焦点F₂作斜率为k的直线l与椭圆C交于M．N两点．试证明：+为定值；②在x轴上是否存在点P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由．

22. 难度：中等

设a＞0，函数f（x）=x²+a|lnx-1|．
（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）若x∈[1，+∞）时，不等式f（x）≥a恒成立，实数a的取值范围．