2011年江苏省高考数学模拟试卷（2）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

i为虚数单位，计算（1+i）²=    ．

2. 难度：中等

观察等式：1=1²，2+3+4=3²，3+4+5+6+7=5²，4+5+6+7+8+9+10=7²，…由此归纳，可得到一般性的结论是    ．

3. 难度：中等

若方程2x²+（a+1）x+2a-3=0的一个根小于-1，另一个根大于0，则实数a的取值范围是    ．

4. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-2ax+1在[1，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是    ．

5. 难度：中等

已知sin（+α）=m，则cos（π-α）=    ．

6. 难度：中等

已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调增加，则满足f（2x-1）＜f（）的x取值范围是    ．

7. 难度：中等

sin105°cos105°的值为     ．

8. 难度：中等

给出定义：若m-＜x≤m+（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f（x）=|x-{x}|的四个命题：
①函数y=f（x）的定义域为R，值域为[0，]；
②函数y=f（x）的图象关于直线x=（k∈Z）对称；
③函数y=f（x）是周期函数，最小正周期为1；
④函数y=f（x）在[-，]上是增函数．
其中正确的命题的序号    ．

9. 难度：中等

用区间表示不等式x²-2a+a²-1＜0的解集    ．

10. 难度：中等

设△ABC是边长为1的正三角形，则=    ．

11. 难度：中等

已知函数f（x）的定义域集合是A，函数g（x）=lg[x²-（2a+1）x+a²+a]的定义域集合是B，若A∩B=A，
那么实数a的取值范围    ．

12. 难度：中等

方程的实根个数是    ．

13. 难度：中等

在括号内填一个实数，使得等式成立，这个实数是    ．

14. 难度：中等

设A=（a₁，a₂，a₃），B=，记AϖB=max{a₁b₁，a₂b₂，a₃b₃}，（注：max{a₁，a₂，…a_n}表示a₁，a₂，…a_n中最大的数），若A=（x-1，x+1，x），，且AϖB=x-1，则x的取值范围为    ．

15. 难度：中等

两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y，统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065．
（1）将y表示成x的函数；
（2）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由．

16. 难度：中等

有一个项数为10的实数等比数列{a_n}，S_n（n≤0）表示该数列的前n项和．
（1）当2＜k≤10时，若S_k，S₁₀，S₇成等差数列，求证a_k-1，a₉，a₆也成等差数列；
（2）研究当k∈{3，4}时，S_k，s₁₀，S₇能否成等差数列，如果能，请求出公比；如果不能，并请说明理由．

17. 难度：中等

设函数f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1，k∈R）是奇函数．
（1）求实数k的值；
（2）若f（1）=，且g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x）在[1，+∝）上的最小值为-2，求实数m的值．

18. 难度：中等

如图，过椭圆的左焦点F₁作x轴的垂线交椭圆于点P，
点A和点B分别为椭圆的右顶点和上顶点，OP∥AB．
（1）求椭圆的离心率e；
（2）过右焦点F₂作一条弦QR，使QR⊥AB．若△F₁QR的面积为，求椭圆的方程．

19. 难度：中等

四川汶川抗震指挥部决定建造一批简易房（房型为长方体状，房高2.5米），前后墙用2.5米高的彩色钢板，两侧用2.5米高的复合钢板，两种钢板的价格都用长度来计算（即：钢板的高均为2.5米，用钢板的长度乘以单价就是这块钢板的价格），每米单价：彩色钢板为450元，复合钢板为200元．房顶用其它材料建造，每平方米材料费为200元．每套房材料费控制在32000元以内．
（1）设房前面墙的长为x，两侧墙的长为y，所用材料费为p，试用x，y表示p；
（2）简易房面积S的最大值是多少？并求当S最大时，前面墙的长度应设计为多少米？

20. 难度：中等

已知m∈R，函数f（x）=x²-m^x，g（x）=lnx．
（1）当x∈[1，2]时，如果函数f（x）的最大值为f（1），求m的取值范围；
（2）若对有意义的任意x，不等式f（x）＞g（x）恒成立，求m的取值范围；
（3）当m在什么范围内取值时，方程f（x）=g（x）分别无实根？只有一实根？有两个不同实根？